2016-2017高三“三角函数”专题复习分析与指导(田)

高三“三角函数”专题复习分析与指导北京市第一0一中学田媛2020/7/72020/7/7一、“三角函数”专题内容分析二、“三角函数”专题的典型考题结构三、“三角函数”专题的教学目标的分析与定位四、“三角函数”专题的教学实施建议五、“三角函数”专题的教学资源2020/7/7一、“三角函数”专题内容分析（一）“三角函数”专题知识体系的梳理在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。2020/7/7知识网络图2020/7/7函弦切余关注“角”ⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ诱导公式（用于统一角）特殊角三角函数值三角函数值的符号同角三角函数基本关系式01234,,,,22222象限坐标坐标值MT2020/7/7关注“名”sinxtanxsecxcosxcotxcscx1平方关系倒数关系商数关系统一函数名2020/7/7ABab解三角形角关系边关系边与角的关系正弦定理余弦定理大边对大角其它量面积中线、垂线、角分线周长任意两边之和大于第三边sinsinABcoscosAB三边二次式与角余弦的关系边之比与角正弦之比的关系内角和定理角的转化2020/7/7核心知识2020/7/7（二）“三角函数”专题中研究的核心问题1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等；③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响.2020/7/72、问题研究与解决2020/7/72、问题研究与解决2020/7/72、问题研究与解决2020/7/72、问题研究与解决④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式”给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角；给值求值：现变同角再求值；给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围.⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系；“化角为边”通过解方程求边；都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.2020/7/7（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法1、学生学习三角函数的主要困难（1）知识、技能方面：①解题时存在背景知识与技能的激活障碍；②解题时多知识点之间的联系存在障碍；③三角函数核心概念及方法理解有误.2020/7/7（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法1、学生学习三角函数的主要困难（2）方法、策略方面：①不能正确识别模式；②缺乏公式导致解题步骤增加，使可用的解题策略减少；③数形之间无法结合.2020/7/7（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法1、学生学习三角函数的主要困难（3）心理、习惯、态度方面：①解题差错无法自主发现；②方法知道但计算不对.2020/7/72、三角函数知识的核心观点①强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型；②数形结合解决三角函数的图形变换；③加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题.2020/7/73、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”：函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；★运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；★作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；★推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断2020/7/7二、“三角函数”专题的典型考题结构（一）近年北京高考题中三角函数考察的内容2020/7/7（二）海淀区三次统考中三角函数考察的内容例1、（2012年北京）已知函数xxxxxfsin2sin)cos(sin)(。（Ⅰ）求)(xf的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(xf的单调递增区间。转化与化归()sin()fxAx复合函数型注意：定义域（三）典型考题举例例2（2016年北京7）将函数y=sin（2x3）图象上的点P（4，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=12，s的最小值为6B．t=32，s的最小值为6C．t=12，s的最小值为3D．t=32，s的最小值为3解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（﹣s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（﹣2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．函数的图形变换解:(I)因为21(2cos1)sin2cos42fxxxx（）=1cos2sin2cos42xxx=1(sin4cos4)2xx=2sin(4)24x,所以()fx的最小正周期为2,最大值为22.(II)因为22f（）,所以sin(4)14.因为(,)2,所以9174(,)444,所以5442,故916.2020/7/7例3、（2013北京文15）已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．变角——变式——变名例4、（2014·北京理14）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且2()()()236fff，则f(x)的最小正周期为_______．函数图像26223224T例5、（2014·北京理18）已知函数()cossin,[0,]2fxxxxx，(1)求证：()0fx；(2)若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的最大值与b的最小值.解：（I）由()cossinfxxxx得'()cossincossinfxxxxxxx。因为在区间(0,)2上'()fxsin0xx，所以()fx在区间0,2上单调递减。()fx(0)0f函数思想（Ⅱ）当0x时，“sinxax”等价于“sin0xax”“sinxbx”等价于“sin0xbx”。令()gxsinxcx，则'()gxcosxc，当0c时，()0gx对任意(0,)2x恒成立。例6（2013年北京15）△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值.解（2）由余弦定理：cosabcbcA2222,所以cc269242263，解得：c35或.若c3，因为a3，所以AC.由已知∠B=2∠A，可知B90o,从而b32，与已知b=26不符合，故而舍去所以c5.第二问公式的选择第二问增解的原因（2013年辽宁）在ABC,内角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb且ab,则B（）(A)6(B)3(C)23(D)56（2013年陕西）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为,,abc,若coscossinbCcBaA,则△ABC的形状为（）(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定边角混合式的处理利用正余弦定理化边或者化角例7、(2013·全国新课标Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74.故PA＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得3sin150°＝sinαsin30°－α，化简得3cosα＝4sinα.所以tanα＝34，即tan∠PBA＝34.方程思想例8、（2016北京理15）在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求2cosA+cosC的最大值．函数思想解：（Ⅱ）由（I）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+）．∵A∈（0，），∴A+∈（，π），故当A+=时，sin（A+）取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．2020/7/7三、“三角函数”专题的教学目标的分析与定位（一）高考考试要求2020/7/7（二）数学核心素养的培养2020/7/72020/7/72020/7/72020/7/72020/7/72020/7/7四、“三角函数”专题的教学实施建议2020/7/7（二）教学建议及示范注：由李老师提供2020/7/7五、“三角函数”专题的教学资源2015——2016海淀区四次统考试题（三角部分）2020/7/7感谢聆听