导数高考题(大题)

1/22导数高考题（非常实用）一、导数的基本应用（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域→→疑似极值点→→单调区间→→极值→→最值基本方法：一般通法：利用导函数研究法特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧【例题】（2009江西理17/22）设函数()xefxx.求（1）函数()fx的单调区间；（2）略.解：函数定义域为),0()0,(，'22111()xxxxfxeeexxx,由'()0fx,得1x.因为当0x时或01x时,'()0fx；当1x时,'()0fx；所以()fx的单调增区间是:[1,)；单调减区间是:(,0)(0,1]，.【例题】（2008北京理18/22）已知函数22()(1)xbfxx，求导函数()fx，并确定()fx的单调区间．解：242(1)(2)2(1)()(1)xxbxfxx3222(1)xbx32[(1)](1)xbx．令()0fx，得1xb．当11b，即2b时，2()1fxx，所以函数()fx在(1)，和(1)，上单调递减．当11b，即2b时，()fx的变化情况如下表：x(1)b，1b(11)b，(1)，()fx0当11b，即2b时，()fx的变化情况如下表：x(1)，(11)b，1b(1)b，()fx0所以，2b时，函数()fx在(1)b，和(1)，上单调递减，在(11)b，上单调递增，2b时，函数()fx在(1)，和(1)，上单调递减．2b时，函数()fx在(1)，和(1)b，上单调递减，在(11)b，上单调递增．2/22第二组本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧【例题】（2009北京文18/22）设函数3()3(0)fxxaxba.（Ⅱ）求函数()fx的单调区间与极值点.解：∵'230fxxaa,当0a时，'0fx，函数()fx在,上单调递增，此时函数()fx没有极值点.当0a时，由'0fxxa，当,xa时，'0fx，函数()fx单调递增，当,xaa时，'0fx，函数()fx单调递减，当,xa时，'0fx，函数()fx单调递增，∴此时xa是()fx的极大值点，xa是()fx的极小值点.点评：此题是2010届文科考试说明的样题，题目考查了对导函数零点进行分类的能力，旨在帮助学生巩固研究函数单调性的基本方法.【例题】（2009天津理20/22）已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR.（II）当23a时，求函数()fx的单调区间与极值..42)2()('22xeaaxaxxf解：.2232.220)('aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论.（1）a若＞32，则a2＜2a.当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2af'(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以aaaaxf3/22.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若＜32，则a2＞2a，当x变化时，)()('xfxf，的变化情况如下表：x2a，2aaa22，a2，a2f'(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗内是减函数。，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数点评：此题与上一题考点相同，计算量略增，旨在帮助学生进一步提升对此类问题的认识和处理能力.【例题】（2008福建文21/22）已知函数32()2fxxmxnx的图象过点(1,6)，且函数()()6gxfxx的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求mn、的值及函数()yfx的单调区间；（Ⅱ）若0a，求函数()yfx在区间(1,1)aa内的极值.解：（Ⅰ）由函数()fx图象过点(1,6)，得3mn，………①由32()2fxxmxnx，得2()32fxxmxn，则2()()63(26)gxfxxxmxn；而()gx图象关于y轴对称，所以－26023m，所以3m，代入①得0n.于是2()363(2)fxxxxx.由()0fx得2x或0x，故()fx的单调递增区间是(,0)，(2,)；由()0fx得02x，故()fx的单调递减区间是(0,2).（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3(2)fxxx，令()0fx得0x或2x.4/22当x变化时，()fx、()fx的变化情况如下表：x(,0)0(0,2)2(2,)f'(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增由此可得：当01a时，()fx在(1,1)aa内有极大值(0)2f，无极小值；当1a时，()fx在(1,1)aa内无极值；当13a时，()fx在(1,1)aa内有极小值(2)6f，无极大值；当3a时，()fx在(1,1)aa内无极值.综上所述，当01a时，()fx有极大值2，无极小值；当13a时，()fx有极小值6，无极大值；当1a或3a时，()fx无极值.点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.【例题】（2009安徽文21/21）已知函数2()1lnfxxaxx，a＞0，(I)讨论()fx的单调性;(II)设a=3，求()fx在区间[1，2e]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.解：（Ⅰ）由于/22()1afxxx,令1tx得/2()21(0)fxtatt①当280a，即022a时，/()0fx恒成立，∴()fx在(,0),(0,)上都是增函数.②当280a，即22a时，由2210tat得284aat或284aat∴0x或282aax或2802aax又由2210tat得228844aaaat，∴228822aaaax5/22综上,当022a()fx在(,0),(0,)上都是增函数；当22a()fx在28(,0),(0,)2aa及28(,)2aa上都是增函数，在2288(,)22aaaa是减函数.（2）当3a时，由（1）知，()fx在[1，2]上是减函数，在[22,]e上是增函数.又2222(1)0,(2)23ln20,()50fffeee∴函数()fx在区间[1，2e]上的值域为222[23ln2,e5]e.点评：（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；（2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题.（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围基本思路：定义域→→单调区间、极值、最值→→不等关系式→→参数取值范围基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题】（2008湖北文17/21）已知函数322()1fxxmxmx（m为常数，且m0）有极大值．．．．9．．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为5的直线是曲线()yfx的切线，求此直线方程．解：（Ⅰ）22()32()(3)0fxxmxmxmxm，则xm或13xm，当x变化时，()fx与()fx的变化情况如下表：x(,)mm1(,)3mmm31(m31,+∞)()fx+0－0+()fx增极大值减极小值增从而可知，当xm时，函数()fx取得极大值9，6/22即333()19fmmmm,∴2m.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，32()241fxxxx，依题意知2()3445fxxx，∴1x或13x.又168(1)6,()327ff，所以切线方程为65(1)yx，或6815()273yx，即510xy，或13527230xy.点评：（1）本题第一问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大；（2）本题第二问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.【例题】（2009四川文20/22）已知函数32()22fxxbxcx的图象在与x轴交点处的切线方程是510yx.（I）求函数()fx的解析式；（II）设函数1()()3gxfxmx，若．()gx的极值存在．．．．．，求实数m的取值范围以及函数()gx取得极值时对应的自变量x的值.解：（I）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f,即430bc……①又2()34fxxbxc，由已知(2)1285fbc得870bc……②联立①②，解得1,1bc.所以函数的解析式为32()22fxxxx（II）因为321()223gxxxxmx令21()34103gxxxm当函数有极值时，方程．．．．．．．．．．2134103xxm有实数解．．．．.则4(1)0m，得1m.①当1m时，()0gx有实数23x，在23x左右两侧均有()0gx，故()gx无极值②当1m时，()0gx有两个实数根1211(21),(21),33xmxm(),()gxgx情况如下表：x1(,)x1x12(,)xx2x2()x7/22()gx+0-0+()gx↗极大值↘极小值↗所以在(,1)m时，函数()gx有极值；当1(21)3xm时，()gx有极大值；当1(21)3xm时，()gx有极小值；点评：（1）本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.（2）本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大.★【例题】（2008全国Ⅱ文21/22）设aR，函数233)(xaxxf．（Ⅰ）若2x是函数)(xfy的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]gxfxfxx，，，在0x处取得最大值，求a的取值范围．解：（Ⅰ）2()363(2)fxaxxxax．因为2x是函数()yfx的极值点，所以(2)0f，即6(22)0a，因此1a．经验证，当1a时，2x是函数()yfx的极值点．（Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)gxaxxaxxaxxxx．当()gx在区间[02]，上的最大值为(0)g时，(0)(2)gg≥，即02024a≥．故得65a≤反之，当65a≤时，对任意[02]x，，26()(3)3(2)5gxxxxx≤23(210)5xxx3(25)(2)5xxx0≤，而(0)0g，故()gx在区间[02]，上的最大值为(0)g．综上，a的取值范围为65