数值原理与数的进制-题库教师版

5-7.位置原理与数的进制.题库教师版page1of8本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdefa×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。十进制二进制十六进制八进制知识点拨教学目标5-7位置原理与数的进制5-7.位置原理与数的进制.题库教师版page2of8模块一、位置原理【例1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【解析】本题属于基础型题型。我们不妨设a＞b＞c。(abc-cba）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【解析】(ab-ba）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。【解析】(ab+ba）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b。【例2】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】设原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，(10)(10)9()45abbaabbaab，5ab，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a，4b，原来的两位数中最大的是94．【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【解析】设原数为abcd，则新数为dcba，(100010010)(100010010)999()90()dcbaabcddcbaabcddacb．根据题意，有999()90()8802dacb，111()10()97888890dacb．推知8da，9cb，得到9d，1a，9c，0b，原数为1099．【巩固】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。【解析】设这个巧数为ab，则有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。【例3】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】设这六个不同的三位数为,,,,,abcacbbacbcacabcba，因为10010abcabc，10010acbacb，……，它们的和是：222()1554abc，所以15542227abc，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4，所以最大的数最大为4；又12367，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数．【解析】设三个数字分别为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abcacbbacbcacabcbaabcabcabcabc所以288622213abc，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193，所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139．【巩固】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的例题精讲5-7.位置原理与数的进制.题库教师版page3of8三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。这12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。【巩固】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？【解析】设这三个数字分别为a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222×（a＋b＋c）＝3330，推知a＋b＋c＝15。所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159，最大为951。【巩固】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()abc．因为223422210，所以10abc．若11abc，则所求数为222112234208，但2081011，不合题意．若12abc，则所求数为222122234430，但430712，不合题意．若13abc，则所求数为222132234652，65213，符合题意．若14abc，则所求数为222142234874，但8741914，不合题意．若15abc，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意．所以，只有13abc时符合题意，所求的三位数为652．【例4】在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。【解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是ab，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a＋10b＋5＝（10a＋5）×9，化简得a＋b＝4。变成的三位数只能是405，315，225，135。【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a；第三个为100a+b；由题意：(100a+b)-（10b+a）=(10b+a)-（10a+b)；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45；（601-106)÷45=11；再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．【解析】设组成这个四位数的四个数码为a，b，c，d(91abcd)，则有383443388172abcddcba，可得999()90()81727992180adbc，则8ad，2bc，9a，1d，194338Mcb，且M的四位数字分别为1、c、b、9，由于8917的个位数字为7，所以b，c中有一个为7，但2bc，所以c不能为7，故7b，5c，157943385917M．【例5】已知1370,abcdabcabaabcd求.【解析】原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，所以a＝1，则111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，推知b＝2；进而推知c＝3，d=4所以abcd=1234。【巩固】(2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．【解析】设这样的四位数为abcd，则2008abcdabcd，即10011011122008abcd，则1a或2．5-7.位置原理与数的进制.题库教师版page4of8⑴若2a，则1011126bcd，得0bc，3d，2003abcd；⑵若1a，则1011121007bcd，由于11211929117cd，所以1011007117890b，所以8b，故b为9，112100790998cd，则c为偶数，且11982980c，故7c，由c为偶数知8c，5d，1985abcd；所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：200319853988．【例6】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．【解析】设原来的两位数是ab，则得到的两个三位数分别为3ab和3ab，四位数为33ab，由题知33333600ababab，即1033003003103600ababab，21294ab，故14ab．【巩固】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111A，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。【解析】设这个数为x，则10x+5-x=1111A，化简得9x=1106A，等号右边是9的倍数，试验可得A=1，x=1234。【巩固】某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如4abcdefg，则七位数abcdefg应是多少？【解析】设abcdefgx，则72210abcdefgx，4104abcdefgx，根据题意，有72103104xx，得77610459999996x，所以8571428x．【例7】一个六位数ab