28.2.3解直角三角形的应用(3)

解直角三角形的应用(3)在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90º；(3)边角之间的关系:ＡＣＢabctanA＝absinA＝accosA＝bc(必有一边)3、仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.例5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）？65°34°PBCA•指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.•如图：点A在O的北偏东30°•点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南方位角例5、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留小数点后一位）？解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B＝34°PBPCBsin7.12934sin8.72sinBPCPB65°34°PBCA因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里。80利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.归纳：练习1、海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°1.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在Rt△ABF中，tanAFABFBF3tan3012xx解得x=666310.4AFx∵10.48,∴没有触礁危险。练习30°60°12解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhααll我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.hαl以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．我们在生活中会见到很多斜坡,有的斜坡比较陡，有的比较平缓.这只是我们的直观认识,我们怎么来定量的表示坡的陡缓程度呢?如右图,坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比）,lhhl,.hiil记作即1:,1:1.5.mi坡度通常写成的形式如.:tan.ihil坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作坡度与坡角之间的关系从右图可以得出1、斜坡的坡比是1:1，则坡角α=______度。3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。αLh2、斜坡的坡角是600，则坡比是_______。4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为_______米。5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为_______米。453:11:3951010例题6如图,一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，求残疾人通道的坡度与坡角(角度精确到，其他近似数取四位有效数字).分析：根据坡度与坡角的定义来求.'1lh解过点A作水平线l,再作BC⊥l,垂足为点C.根据题意,可知AB=3.2米,BC=0.4米.在Rt△ABC中,22223.20.43.1749().ACABBC米0.41:7.938.3.1749BCiAC'0.4tan0.12599,3.174971.BCAACA答：残疾人通道的坡度约为1：7.938,坡角约为'71.ACBl例题7如图,一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC为2.8米,路基高为1.2米，斜坡AB的坡度为i=1:1.6.(1)计算路基的下底宽(精确到0.1米).(2)求坡角(精确到1°).ABCDEF1:1.62.81.2解分别过点B、C作BE⊥AD、CF⊥AD,垂足分别为点E、F.根据题意,可知BE=1.2(米),AE=DF,EF=BC=2.8(米).在Rt△ABE中,答：路基的下底宽约为6.6米,坡角约为32.1,1.61.61.61.21.92().BEAEAEBE米(1)221.922.86.646.6().ADAEEFDFAEEF米(2),设坡角为则1tan0.625,1.632.iABCDEF1:1.62.81.2练习2.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）。BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°tan11.5AFiBF：33.7在Rt△CDE中，∠CED=90°tan1:3DEiCE18.422(2)61.596911731310.8.RtABFBFABm在中，，1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(仰角,俯角,方位角,坡度，坡比等)2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形)作业：•课本93页第5、9题