01构件的静力分析(题+案)

例1.1重W的均质圆球O，由杆AB、绳索BC与墙壁来支持，如图l.11a所示。各处摩擦与杆重不计，试分别画出球O和杆AB的受力图。解(1)以球为研究对象1)解除杆和墙的约束，画出其分离体图；2)画出主动力：球受重力W；3)画出全部约束反力：杆对球的约束反力ND和墙对球的约束反力NE(D、E两处均为光滑面约束)。球O的受力图如图1.11b所示。(2)以AB杆为研究对象1)解除绳子BC、球O和固定铰支座A的约束，画出其分离体图。2)A处为固定铰支座约束，画上约束反力XA、YA；3)B处受绳索约束，画上拉力TB；4)D处为光滑面约束，画上法向反力ND′，它与ND是作用与反作用的关系。AB杆的受力图如图1.11c所示。例1.2图1.12a所示的结构，由杆AC、CD与滑轮B铰接组成。物重w、用绳子挂在滑轮上。杆、滑轮及绳子的自重不计，并忽略各处的摩擦，试分别画出滑轮B、重物、杆AC、CD及整体的受力图。解(1)以滑轮及绳索为研究对象。解除B、E、H三处约束，画出其分离体图。在B处为光滑铰链约束，画出销钉对轮孔的约束反力XB、YB。在E、H处有绳索的拉力TE、TH。其受力图如图1.12b所示。(2)以重物为研究对象。解除H处约束，画出其分离体图。画出主动力重力w。在H处有绳索的拉力TH＇，它与TH是作用与反作用的关系。其受力图如图1.12c所示。(3)以二力杆CD为研究对象(在系统问题中，先找出二力杆将有助于确定某些未知力的方向)。画出其分离体图。由于CD杆受拉(当受力指向不明时，一律设在受拉方向)，在C、D处画上拉力SC与SD，且SC=-SD。其受力图如图1.12d所示。(4)以AC杆为研究对象。解除A、B、C三处约束，画出其分离体图。在A处为固定铰支座，故画上约束反力XA、YA。在B处画上XB′、YB′，它们分别与XA、YA互为作用力与反作用力。在C处画上SC′，它与SC是作用与反作用的关系，即SC′=-SC。其受力图如图1.12e所示。(5)以整体为研究对象。解除A、E、D处约束，画出其分离体图。画出主动力重力W。画出约束反力XA、YA。画出约束反力SD和TE。其受力图如图1.12f所示(对整个系统来说，B、C、H三处受的均是内力作用，在受力图上不能画出)。例1.3在螺栓的环眼上套有三根软绳，它们的位置和受力情况如图1.17a所示，试用几何法求三根软绳作用在螺栓上的合力的大小和方向。解规定每单位长度代表300N，按比例尺画出力多边形（图1.17b），由图量得合力FR的长度为5.5单位，即FR=5.5×300N=1650N=1.65kN设以合力作用线和x轴的夹角表示合力的方向，由图1.17a用量角器量得'1610o例1.4用解析法重解例1-3题。解先利用式(1.6)计算合力在x轴和y轴上的投影，为FRx=KNNN46.046045cos150030sin600300FRy=KNNN58.1158045cos150030cos600再用式(1.7)计算合力FR的大小和方向，为RFKNKNFFRyRx654.158.146.02222654.158.1cosRRyFF0116例1.5圆筒形容器的重力为G，置于托轮A、B上，如图1.21a所示，试求托轮对容器的约束反力。图1.22解取容器为研究对象，画受力图(见图1.21b)。托轮对容器是光滑面约束，故约束反力NAF和NBF。应沿接触点公法线指向容器中心，它们与y轴的夹角为3O°。由于容器重力也过中心O点，故容器是在三力组成的平面汇交力系作用下处于平衡，于是有：∑X=0030sin30sinNBNAFF∑Y=0030cos30cosGFFNBNA解之得NAF=NBF及NAF=NBF=2Gcos30°=0.58G可见，托轮对容器的约束反力并不是2G，而且二托轮相距越远，托轮对容器的作用力越大。例1.6如图1.22a所示，重物P=20KN，用钢丝绳挂在支架上，钢丝绳的另二端缠在绞车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的尺寸，试求平衡时杆AB和BC所受的力。解(1)取滑轮B为研究对象，由于AB和BC两直杆都是二力杆，所以它们所受的力均沿杆的轴线，假设。AB杆受拉力，BC杆受压力，如图1.22b所示。(2)画滑轮B的受力图。滑轮受有钢丝绳的拉力T1、T2以及AB、BC两杆的约束反力ABF、BCF，如图1.22c所示，已知T1=T2=P。由于忽略滑轮的尺寸，且不计摩擦，故这些力可以认为是作用在B点的平面汇交力系。(3)取坐标轴xBy，如图1.22c所示。为使未知力在一个轴上有投影，在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量取在与作用线相垂直的方向。这样，在一个平衡方程中便只有一个未知量,可不必解联立方程。(4)列平衡方程∑X=0030cos60cos21TTFAB∑Y=0060cos30cos21TTFBC解得KNPFKNPFBCAB32.27266.1,32.7366.0所求结果FBC为正值，表示这个力的假设方向与实际方向相同，即杆BC受压。ABF为负值，表示该力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也是受压。例1.7如图1.24所示，电线杆OA上端两根钢丝绳的拉力为F1＝120N，F2＝100N。试求Ｆl与Ｆ2对电线杆下端O点之矩。解从矩心向力Ｆl与Ｆ2的作用线分别作垂线，得Ｆl与Ｆ2的力臂Ｏa和Ｏb。由式(1.11)得mNmNOAFObFFMmNmNOAFOaFFMoo4805/38100sin)(4805.0812030sin)(222111例1.8圆柱直齿轮传动中，轮齿啮合面间的作用力为F。如图1.26所示。已知Fn=500N，α=20°，节圆半径r＝D／2＝150mm。试计算齿轮的传动力矩。解应用合力矩定理)()()(rotonoFMFMFM＝－Fn·rcosα+０＝－500×0.15×cos20°＝－70.48（Ｎ·m）例1.9图1.32所示的电动机轴通过联轴器与工作轴相联接，联轴器上四个螺栓Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的孔心均匀分布在一直径为0.15m的圆周上，电动机传给联轴器的力偶矩Ｍ为2.5kＮ·m，试求每个螺栓所受的力的大小?解取联轴器为研究对象。作用于联轴器上的力有M和四个螺栓的反力，方向如图1.32所示。现假设四个螺栓受力均匀，即Ｆl＝Ｆ2＝Ｆ3＝Ｆ4＝Ｆ，则它们组成两个力偶(F1，F3)和(F2，F4)并与Ｍ平衡。由式(1.12)有∑Ｍ＝０，Ｍ－Ｆ×AC－Ｆ×BD＝０而AC＝BD＝0.15m所以Ｆ＝Ｍ／2AC＝2.5kN·m／0.3m＝8.33KN例1.10梁AB一端固定、一端自由，如图1.35a所示。梁上作用有均布载荷，载荷集度为q(kN／m)。在梁的自由端还受有集中力F和力偶矩为M的力偶作用，梁的长度为，试求固定端Ａ处的约束反力。解(1)取梁AB为研究对象并画出受力图，如图1.35b所示。(2)列平衡方程并求解。注意均布载荷集度是单位长度上受的力，均布载荷简化结果为一合力，其大小等于q与均布载荷作用段长度的乘积，合力作用点在均布载荷作用段的中点。∑Fx＝０，XＡ＝０∑Fy＝０，YＡ－ql－Ｆ＝０∑ＭＡ(Ｆ)＝０，ＭA－ql×l／2－Ｆl－Ｍ＝０解得XＡ＝０YＡ＝ql＋ＦＭA＝ql２／2＋Ｆl＋Ｍ例l.11图1.37a所示为一手动水泵，图中尺寸单位均为cm，已知P＝200N，不计各构件的自重，试求图示位置时连杆BC所受的力、手柄Ａ处的反力以及液压力Q。图l.35悬臂粱受力分析图1.37手动水泵受力解分别取手柄ABD、连杆BC和活塞C为研究对象。分析可知，BC杆不计自重时为二力杆，有SC＇＝SB＇。由作用力与反作用力原理知SB＝SB＇，SC＝SC＇。所以SB＝SC，各力方向如图所设。1)以手柄ABD为研究对象，受力图如图l.37b所示，对该平面任意力系列出平衡．方程：0cos848,0)(BASPFMNPPSB120020822048cos848220cos,0BAxSXFNSXBA12022020220cos,0PSYFBAyNPSYBA100022020222)取连杆BC为研究对象。受力图如图1.37c所示。对二力杆BC，结合作用力与反作用力原理，有SB＇＝SＣ＇＝SB＝1200N3)取活塞C为研究对象。由受力图(图1.33d)可知，这是一个平面汇交力系的平衡问题，列出平衡方程求解CCCySSSQF　因为　0cos,0于是)(1200220201200cos22NSQC例l.12在图1.38中，若Fn=1410N，齿轮压力角α=20°，螺旋角β=25。，求轴向力Fr圆周力Ft和径向力Fa的大小。解过力Ｆn的作用点Ｏ取空间直角坐标系，使齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向分别为x、y和z轴。由式(1.22)则有Ｆa＝Ｆnsin(90°-α)cos(90°-β)＝1410cos20°sin25°≈560NＦt＝Ｆnsin(90°-α)sin(90°-β)＝14lOcos20°cos25°≈1201NＦr＝Ｆncos(90°-α)＝1410sin20°≈482N例1.13一车床的主轴如图l.40所示，齿轮C直径为200mm，卡盘D夹住一直径为100mm的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。切削时工件匀速转动，车刀给工件的切削力Ｆx=466N，Ｆy=352N，Ｆz=1400N，齿轮c在啮合处受力为Ｆ，作用在齿轮的最低点如图1.40b所示。不考虑主轴及其附件的重量与摩擦，试求力Ｆ的大小及A、B处的约束力。解选取主轴及工件为研究对象，过A点取空间直角坐标系，画受力图，如图1.40b所示。向心轴承B的约束反力为XB和ZB，向心推力轴承A处约束反力为XA、YA、ZA。主轴及工件共受9个力作用，为空间任意力系。下面分别用两种方法来求解。方法一：如图1.40b、c所示。由式(1.24)可得∑Fx＝０，XA+XB-Fx-Fcos20°=0∑Fy＝０，YA-Fy=0图1.38斜齿轮的受力分析∑Fz＝０，ZA+ZB+Fz+Fsin20°=0∑Ｍx(Ｆ)＝０，ZA×0.2＋ZB×0.3－Fsin20°×0.05=0∑Ｍy(Ｆ)＝０，-Fz×0.05+Fcos20°×0.1=0∑Ｍz(Ｆ)＝０，-Fcos20°×0.05-XB×0.2+Fx×0.3-Fy×0.05=0解得XA=730N，YA=352N，ZA=381NXB=436N，ZB=-2036N，F=745N方法二：首先将图1.36b中空间力系分别投影到三个坐标平面内，如图1.40d～f所示。然后分别写出各投影平面上的力系相应的平衡方程式，再联立解出未知量。步骤如下：(1)在xAz平面内，如图l.40d所示。由∑MA(F)=０，Ft×0.1－Ft×0.05＝0将Ft=Fcos20°代人得F=745N(2)在yAz平面内，如图1.40e所示。由∑MA(F)=０，-Fr×0.05＋ZB×0.2＋Fz×0.3＝0将Fr=Fsin20°代入得ZB=-2036N由∑Fz＝０，ZA+ZB+Fz+Fsin20°=0得ZA=381N由∑Fy＝０，YA-Fy=0得YA=352N(3)在xAz平面内，如图1.36f所示。由∑MA(F)=０，－Ft×0.05－XB×O.2＋Fx×0.3－Fy×0.05＝0得XB=436N由∑Fx＝０，XA+XB-Fx-Fcos20°=0得XA=730N对比两种方法可以看出，后一种方法较易掌握，适用于受力较多的轴类构件，因此在程中多采用此法。例1.14重FG的物块放在倾角为α的斜面上(α大于摩擦角m)，如图1.44a所示，已知物块与斜面间的静摩擦系数f，试求能使物块维持平衡状态的P值。解由经验可知，力P太大，大于Pmax物块将上滑；力P太小，小于Pmin物块将下滑图1.44a因此，力P的数值只要在Pmax与Pmin之间，物块就能维持