人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）教学设计一、教学内容解析：(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章3.1节。函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）．(2)教学内容的知识类型；在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识.(3)教学内容的上位知识与下位知识；在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识.(4)思维教学资源与价值观教育资源；生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)=0.001x+1和函数1yxx，能引发提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观.二、教学目标设置：本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。“课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。“课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时)为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下：(1)知识与技能：理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念；能利用图象法直观判断函数的单调性；初步掌握利用函数单调性定义从正反两个角度分析、判断、证明函数单调性.理解函数单调性定义蕴含的不等关系，初步掌握利用作差比较推理证明函数单调性的方法.(2)过程与方法：经历观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、推理论证等思维过程，提高相应的数学思维能力；探索函数单调性的符号语言表述，体会数形结合、分类讨论、特殊与一般、无限与有限、等价转化等数学思想.(3)情感、态度与价值观：通过观察生活常见数据例子，感受数学的科学价值与应用价值，提高学习数学的兴趣。通过自主学习、小组合作探究，形成独立思考、讨论争辩、合作整理的良好学习模式与氛围.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明的认知过程，形成对后续函数性质的一般研究方法，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，树立辩证唯物主义世界观.三、学生学情分析：(1)学生已有基础：认知基础：从学生知识最近发展区来看。他们在初中已经接触过函数的单调性，不过那时没有提函数的单调性，而是用体现变量之间依赖关系的文字语言“y随x的增大而增大，y随x的增大而减小”来描述，符合学生的认知规律，同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.能理解不等关系，理解a＞b可以等价转化为a－b＞0,a＜b可以等价转化为a－b＜0.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段集合与函数概念的学习，学生具有一定的抽象概括、类比归纳、符号表示的能力.具备相当的日常生活经验,能看懂曲线图.(2)教学难点及难点突破：难点1：能用不等关系对“随着”、“增大”、“减小”这种文字语言进行符号化.这个差距是从自然描述抽象概括为符号表述.抽象能力稍强的学生可以通过同时对比函数的列表和图象，用数形结合思想，自主消除差距.如果学生抽象能力稍弱，教师可以提示“增大、减小都是体现大小比较的词汇”，启发学生用比较大小的方法抽象概括.并用“当…时，有…”来体现“随着”这种变量间的伴随关系.难点2：能理解“任意…都…”这个句式的具体含义：第一，不能取特定值来判别函数的单调性；这里的差异是学生要理解可以用特殊推广到一般，但不能用特殊代替一般，学生也许理解不透彻，需要教师提起注意，本课设置了辨析题1解决这个问题；第二，正是由于取值的任意性，造就了函数的单调性的局部性。这里的差异是学生要理解如果不在同一个单调区间内取值验证，会出现不能界定单调性的矛盾.学生第一次接触这样高度概括的符号语言，这个差距多数需要教师设置有效教学环节帮助消除，本课设置了辨析题2，并采用小组合作探究的学习模式，让学生独立思考、充分讨论、正误对比来获得正确认识.第三、用“任意”的必要性，体现化无限为有限的思想.这里的差距是学生要理解“任意”这个说法的必要性，由于是高度概括的文字语言，理解起来需要演绎推理的过程，这个差距是需要教师帮助消除的，本课通过下列问题串来解决：“师问：x1和x2是一对具有代表性的符号，它们究竟代表了多少对数值？生答：无数对师问：无数对还是所有对？生答：所有对师问：无数能代替所有吗？生答：不能师问：什么可以代替？生答：可以用“任意”来代替”.四、教学策略分析：(1)教学材料分析；学生在初中已经接触过函数的单调性，不过那时没有提函数的单调性，而是用体现变量之间依赖关系的文字语言描述，符合学生的认知规律，同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.可以选择他们熟悉的一次函数、二次函数函数通过有效组织成为教学材料，在不经意中展示函数f(x)=0.001x+1引发不能靠图象直观判断，要靠解析式代值验证；再展示函数1yxx说明靠解析式代值验证操作性很差，需要发展新知识----利用解析式快速判断单调性，这两个教学材料贴近学生实际出发，能有效引发思考，十分自然地推动了知识发展；再以二次函数f(x)=x2承担主要探究材料，组织列表和图象对比材料，驱动学生由“形”转“数”，提炼符号语言描述；组织两道辨析题，问题驱动深挖定义的内涵；组织直观判断单调性的例1以及需要用定义判断证明的例2及练习，肯定了利用函数解析式探求函数单调性的方法.(2)教学方法分析；本课教学内容重点是函数单调性符号语言描述的抽象概括过程，是学生遇到的抽象程度极高的符号语言，所以结合幻灯片、实物投影等多媒体技术的教学手段，选择观察发现式、问题启发式、合作讨论式的教学方法.(3)设计“问题串”的分析：依据的学生认知规律，从问题1至问题5以及两个思考，“问题串”的设计体现了从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明的脉络，有利于形成对后续函数性质的一般研究方法.“问题串”的设计也体现了发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，不断激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.通过设计快问快答的预备“小问题串”，贴切学生思维，拉升思维速度，极大地满足学生的成功感，树立了学生的自信，激发了探索欲望.(4)缩小认知差距的分析：通过设计探究、发现与合作交流．全程参与新知识的形成过程，及时获得评价与反馈。通过问题的合理设计激发兴趣，在师生互动、生生互动中，体验知识与方法的生成过程．形成学生主动参与，自主与合作探究的课堂气氛．为不同认知基础的学生提供相应的学习机会和适当帮助(5)学习反馈的分析：通过两道辨析题反馈对函数单调性定义中“任意”的理解；通过例1反馈对函数单调性相关概念的理解；通过例2的练习反馈利用函数单调性定义、作差法来判断、证明单调性的学习效果.通过课堂小结反馈学生的知识、方法、思想、学法上的收获.五、教学过程/步骤(一)感知数学引入新课观察以上图象，它们都反映了事物的哪种变化规律？【活动】让全班观察，请若干学生发言【设计意图】创设了生活中常见数据曲线图的例子情境，激发学生的学习兴趣.通过问题渗透函数是研究事物运动变化规律的好模型，通过两种语言的描述：“上升”“下降”和“f(x)随着x的增大而增大或减小”，完成对函数单调性概念的第一次认识．点出课题，同时获得判断单调性的直观方法----图象法.(二)激发冲突由形入数问题1：观察下列函数的图象,描述函数有什么变化趋势【活动】引导学生用文字语言描述：函数在哪个区间上，f（x）随着x的增大而增大或减小【设计意图】从初中所学的两个熟悉的函数出发，要求用文字语言描述它们的单调性．加强定量分析的意识，完成对函数单调性概念的第二次认识．为第三个函数埋伏笔.在不经意中展示函数f(x)=0.001x+1，经过思考回答，得到不能靠图象直观判断，要靠解析式代值验证的结论；再展示函数1yxx，说明靠解析式代值验证操作性很差，需要发展新知识----利用解析式和不等关系快速判断单调性的结论.这两个教学材料贴近学生实际出发，能有效构造知识矛盾冲突，激发思维运转，十分自然地推动了知识发展.学生强烈感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够实用和精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．必须由“形”转“数”，由“感性”转“理性”，从函数解析式和不等关系寻找出路判断单调性.(三)表格过渡突破难点问题2：如何利用函数f(x)=x2的解析式描述该函数“在区间(0,+∞)上,f(x)随着x增大而增大”.思考在表中任取一些自变量的值，比较它们对应的函数值的大小，你能发现什么结论？【活动】先让学生观看表格生成的动画，体会f(x)随着x增大而增大，再用自己的语言总结归纳出“当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)”这个符号表述.【设计意图】通过同时对比函数的列表和图象，借助“数”，“形”同时呈现形成的感受,让学生更容易概括.提示“增大是体现大小比较的词汇”，启发学生用比较大小的方法抽象概括.并用“当…时，有…”来体现“随着”这种变量间的伴随关系.【活动】教师自写结论“当x1＜x2＜x3时，有f(x1)＜f(x2)＜f(x3)”，让全班对比前面“当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)”的结论并点评哪个好，并问理由，通过“问题串”引出“任意…都…”句式：“师问：x1和x2是一对具有代表性的符号，它们究竟代表了多少对数值？生答：无数对师问：无数对还是所有对？生答：所有对师问：无数能代替所有吗？生答：不能师问：什么可以代替？生答：可以用“任意”来代替.”【设计意图】突破本课难点之一：用“任意”的必要性.让学生初步理解单调性定义里的不等关系，突破了立足于大小比较的符号语言的生成这个难点之后，接着从表内联想到表外，认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量12x,x．突破了“任意…都…”这个句式的理解难点把对单调性的认识