第十一章：无穷级数、第二节：常数项级数的审敛法

第二节常数项级数的审敛法如果级数1nnunuuu21满足条件：,),2,1(0nun称为正项级数,011us212uus1u3213uuus21uu,1s2snnsssss13210单调有界数列有极限数列极限存在准则:定理1:正项级数1nnu}{ns收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。（一）正项级数及审敛法定理2（比较审敛法）如果两个正项级数1nnu1nnv),3,2,1(nvunn（1）若1nnv1nnu（2）若1nnu1nnv证：设,21nnuuusnnvvvw21nnuuus211v2vnvnw较大一般项对应的级数收敛，则较小一般项对应的级数也一定收敛。较小一般项对应的级数发散，则较大一般项对应的级数也一定发散。和满足关系式收敛，则也收敛，发散，则也发散。nnws（1）若1nnv则由定理1知,,}{有界nw因此}{ns所以级数1nnu（2）若则由定理1知,,}{无界ns因此所以级数1nnu1nnv}{nw推论：如果正项级数1nnu1nnv),0(Nnkvkunn则定理2中的结论仍然成立。定理1:正项级数收收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。1nnunS收敛，也有界，收敛；发散，也无界，发散；和从某项N之后满足关系式:例1：判定调和级数11nnn131211的敛散性。解：11nnn131211)4131()211()81716151()16110191(1v2v3v4v1nnv211u)4141(2u21)81818181(3u21取211,1v41312v81716151,3v因此有,nnvu1nnu121n发散，发散1nnv),3,2,1(21nun而发散调和级数nnn13121111211u)4141(2u21)81818181(3u21取211,1v41312v81716151,3v例2：讨论p—级数11npnpppn131211的敛散性解：（1）,1时当p,11nnp,11发散而nn发散级数时所以当11,1npnpp（2）当p1时，,1kxk若,)2(k,1111kkpkkpxdxxdk,111kkppxdxk,11ppxk则例2：讨论p—级数11npnpppn131211的敛散性解：（2）当p1时，,111kkppxdxk,)2(knkpk21nkkkpxdx211211xdxp321xdxpnnpxdx11npxdx11)11(111pnp11p即pppn1312111p例2：讨论p—级数11npnpppn131211的敛散性解：（2）当p1时，,111kkppxdxk,)2(k即pppn1312111pnspppn131211111p有界，所以部分和数列}{ns因此级数收敛。结论：p—级数当p1时收敛；当p1时发散。例3：证明级数1)1(1nnn证明：)1(1nn2)1(1n11n111nnn13121发散，发散1)1(1nnn是发散的。而级数所以由比较审敛法例4：判别级数13sin2nnn解：,1时当n,03sinn,sinxx,33sinnn的收敛性。所以所以原级数为正项级数。,20时又当x取nnnu3sin2nn32n)32(nv取为而1nnv1)32(nn是收敛的几何级数，所以，1nnu13sin2nnn是收敛的。（1）若,0limnnnvu1nnv（2）若1nnu1nnv且收敛，和则有相同的收敛性。),0(l1nnu则也收敛;,limlvunnn（3）若,limnnnvu1nnv且发散，1nnu则也发散;定理3（比较审敛法的极限形式）设1nnu1nnv和都是正项级数，nnnvulim1nnv1nnu1nnv0,收敛和有相同的收敛性。),0(l1nnu收敛;,1nnv发散1nnu也发散;,l注意：若,0limnnnvu1nnv且发散，1nnu则不一定发散。定理3（比较审敛法的极限形式）设1nnu1nnv和都是正项级数，例5：判别级数11sinnn解：,11sinnn11nn且发散，发散11sinnn的收敛性。nnn11sinlimxxxsinlim0,1nn1~1sin)(n11sinnn11nn和有相同的收敛性，11sinnn故发散例6：判别级数123lnnnn解：23lnnnun取的收敛性。,145nvn又取收敛且nnnvulim4541lnnnn45411lnnnn11451nnnnv则41lnlimnnn41lnlimxxx414limxx0由比较审敛法的极限形式知，1123lnnnnnnu收敛。nnnvulim1nnv1nnu1nnv0,收敛和有相同的收敛性。),0(l1nnu收敛;,1nnv发散1nnu也发散;,l定理3设1nnu1nnv和都是正项级数，（1）取,1nvn则1nnv发散，11nn因此若nnnvulimnnunlim0l（或为+），则1nnu发散nnnvulim1nnv1nnu1nnv0,收敛和有相同的收敛性。),0(l1nnu收敛;,1nnv发散1nnu也发散;,l定理3设1nnu1nnv和都是正项级数，（2）取,1pnnv则1nnv收敛，11npn因此若nnnvulimnpnunlim,l1nnu收敛。,1p,0l则定理6（极限审敛法）设1nnu是正项级数，（1）如果nnunlim0l（或为+),1nnu发散；则（2）如果npnunlim且l1nnu收敛。,1p),0(l则级数例如级数,)cos1(11nnn)cos1(1nnun2)(211~nnun当n时，2221nnnnun23lim223221limnnnn,22故所给级数收敛说明：（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。（2）常用的比较对象有：等比级数、P-级数和调和级数。（3）比较对象的选取有时比较困难。定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）如果正项级数),2,1,0(211nuuuuunnnn的后项与前项之比的极限为：nnnuu1lim，则（1）当1时，级数收敛；（2）当1（或为）时，级数发散；（3）当=1时，不能用此法判定级数的敛散性。比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。,时有使当mnnnnuu1lim因为所以由极限的定义可知||1nnuunnuu1或nnuu1从而有r1:有当因此mn,1nnuru,1,mmn证明：（1）当1,,0取,1r使存在自然数m,mmuru112mmurumur21v2v:有当因此mn,1nnuru,1,mmnmmuru112mmurumur21v2v1kmkmuru22kmurmkurkv1kkv而1kkmru是收敛的几何级数（0r1）,1收敛所以kkmu收敛从而1nnu//结论（3）举例说明如下：同理可证（2），例1：级数121nnnnnuu1lim221)1(1limnnn22)1(limnnn1且有而调和级数11nnnnnuu1limnnn111lim1limnnn1是收敛的(p=2)，是发散的，但也有例2：判定级数)0(1xnxnn解：因为x0，故所讨论的级数为正项级数。nnnuu1limnxnxnnn1lim1xnnn1limx•当01时，•当x=1时，级数成为,11nn发散。的收敛性。•当1，即x1时，发散；即0x1时，级数收敛；比较判别法与比值判别法常结合使用。例3：判定级数1223cosnnnn解：因为nnnnu23cos2nn2nvnnnvv1limnnnnn221lim1nnn21lim121所以1nnv故12123cosnnnnnnu的收敛性。收敛，收敛。例4：判定级数12)12(1nnn解：nnuu1)1(2)12(2)12(nnnn)11()12()12(nnnnnnuu1lim)11()12()12(limnnnn1122比值判别法失效，需改用其它方法来判别。的收敛性。,2)12(1nnun例4：判定级数12)12(1nnn,122nnn由于212)12(1nnn有所以的收敛性。,2)12(1nnun解：121nn而级数所以由比较判别法知12)12(1nnn也是收敛的。是p=2的p级数，故收敛注意：当某个判别法失效时，不要盲目下结论，此时要改用其它方法进一步判别。定理5（根值审敛法，柯西判别法）设1nnu为正项级数，如果,limnnnu则（1）当1时，级数收敛；（2）当1（或为）时，级数发散；（3）当=1时，不能用此法判定级数的收敛性。•同比值审敛法一样，根值审敛法也有使用直观方便的优点。•比值审敛法与根值审敛法均要求所用到的极限存在，且不等于1。例5：判定下列级数的收敛性。12)1(2)1(nnn解：因为,2)1(2nnnunnnulim2)1(2limnnn所以由根值判别法知，级数收敛nnn13)1(21133lim01nn由两边夹法则1)1(2limnnn2112)1(2nnn例5：判定下列级数的收敛性。1)1(3)2(nnnnn解：因为,)1(3nnnnnunnnulim)1(3limnnnn所以根值判别法失效1nnulimnnnnn)1(3limnnn)11(1lim3e30所以所给级数发散。比值判别法与根值判别法的比较：（1）适用对象若一般项nu中含有因子,!n则一般考虑用比值法，若一般项nu中含有因子,nn则一般考虑用根值法，（2）适用范围若用根值法失效，即,1limnnnu则用比值法也一定失效，即此时必有,1lim1nnnuu反之不成立。（3）一般来说，比值法运算简单，根值法适用范围大。例6：判定级数