积分变换

附录：积分变换表和几类特殊函数一.傅里叶变换函数表原函数()fx像函数()Fω1i1()()d2πxfxFeωωω+∞−∞=∫i()()dxFfxexωω∞−−∞=∫21,0()0,0xHxx≥⎧=⎨⎩1π()iδωω+312π()δω4sgnx2iω50costω00π[()()]δωωδωω++−60sintω00iπ[(+)()]δωωδωω−−7t2πi()δω′8ntn()2πi()nδω9,0()(0)0,0axexfxax−⎧≥⎪=⎨⎪⎩1iaω+10,0()(0),0axaxexfxaex−⎧≥⎪=⎨⎪⎩222aaω+11||x22ω−121||x2π||ω131,0()(0)0,0xbfxbbx≤≤⎧=⎨−≤⎩ii1beωω−⎡⎤−⎣⎦141,0()(0)1,0xbfxbbx≤≤⎧=⎨−−≤⎩2sinbωω15221,Re()0aax+πaeaω−16222,Re()0()xaax+iπ2aeaωω1722cos,Re()0,Im0bxabax=+π2ababeeaωω−+⎡⎤−+⎣⎦1822sin,Re()0,Im0bxabax=+iπ2ababeeaωω−+⎡⎤−⎣⎦二．拉普拉斯变换函数表原函数)(tf像函数)(pF原函数)(tf像函数)(pF1()tδ1)(tHp121p1t21p3ate−ap+1atte−2)(1ap+4),2,1(L=ntn1!+npn(1,2,)natten−=L1)(!++napn5tωsin22ωω+ptωcos22ppω+6ttωsin222)(2ωω+ppttωcos22222()ppωω−+7)sin(ta242apaeppπ−tatsin)(paarctg8ate−tωsin22()paωω++cosatetω−22()papaω+++9()211atatea−−+21()ppa+1()atbteeba−−−−1()()papb++101()btatbeaeba−−−−()()ppapb++chkt22ppk−111tπ1p0()Jt211p+12tbet421−πpbep−1222yutedyπ∞−∫p1)0(≥−ueup三.连带勒让德函数222(1)p()(1)2!mlmmllllmxdxxldx++−=−()!p()p()()!mmlllmxxlm−−=+11221p()(1)sinxxθ=−=112223p()3(1)sin23sincos2xxxθθθ=−==22223p()3(1)(1cos2)3sin2xxθθ=−=−=11223233315p()(1)(51)(sin5sin3)6sinsin282xxxθθθθ=−−=+=−222315p()15(1)(coscos3)15sincos4xxxθθθθ=−=−=33232315p()15(1)(3sinsin3)15sin4xxθθθ=−=−=11233245515p()(1)(73)(2sin27sin4)10sincossincos2162xxxxθθθθθ=−−=+=−22224455105p()(1)(71)(34cos27cos4)45sinsin2162xxxθθθθ=−−=+−=−332324105p()105(1)(2sin2sin4)105sincos8xxxθθθθ=−=−=42244105p()105(1)(34cos2cos4)105sin8xxθθθ=−=−+=四.球贝塞尔函数（一）球贝塞尔函数的模在半径为0r的球的内部解亥姆霍兹方程的定解问题，求得本征函数j()lnkr，其中2nk是根据齐次边界条件确定的本征值。计算j()lnkr的模()lnN，[]00222()21200j()J().2rrlnlnlnnNkrrdrkrrdrkπ+⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦∫∫这就转化为计算12J()lnkr+的模。积分得到2222()22012001202(21)J()J'().44lnlnlnnnlNrkrrkrkkπ++⎧⎫⎡⎤+⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭（1）进一步的计算取决于边界条件。第一类齐次边界条件0j()0lnkr=，即120J()0lnkr+=。式（1）成为222()0120J'().4lnlnnrNkrkπ+⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦（2）第二类齐次边界条件[]00j()0lnrrdkrdr==，即1201200J'()J()20nlnlnkkrkrr++−=。利用此式消去式（1）中的120J'()lnkr+，得22()201202(1)J().4lnlnnnllNrkrkkπ+⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）第三类齐次边界条件[]00Hj()j()0lnlnrrkrdkrdr=+=，即012012002J()J'()0.2lnnlnrHkrHkkrr++−+=利用此式消去式（1）中的120J'()lnkr+，得22()20001202()(1)(1)J().4lnlnnrHrHllNrkrkkπ+⎡⎤−−+n⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（4）五、埃尔米特多项式常微分方程''2'0(-)yxyyxλ−+=∞∞（1）叫做埃尔米特方程。00x=是埃尔米特方程的常点。在00x=的邻域上的级数解是0011()()(),yxcyxcyx=+（2）240235121(4)()12!4!(4)(44),(2)!2(2)(6)()3!5!(2)(6)(42).(21)!nnyxxxnxnyxxxxnxnλλλλλλλλλλλλ+−−−⎧=+++⋅⋅⋅+⎪⎪−−⋅⋅⋅−−⎪+⋅⋅⋅⎪⎪⎨−−−⎪=+++⋅⋅⋅+⎪⎪−−⋅⋅⋅−−⎪+⋅⋅⋅+⎪⎩（3）级数的收敛半径为无限大。如λ为4的倍数，则0()yx退化为12λ次多项式。如λ为偶数但不是4的倍数，则1()yx退化为12λ次多项式。用适当的常数乘这些多项式式昀高幂项成为(2)nx,这叫做埃尔米特多项式，记做()nHx。于0,λ=有01H=，2,λ=12Hx=.4,λ=2242Hx=−.6,λ=33812Hxx=−.8,λ=424164812Hxx=−+.10,λ=53532160120Hxxx=−+.函数22(,)txttxeψ−=在00t=的邻域上是解析的，可在00t=的邻域上展开为泰勒级数0(,)().!nnnttxHxnψ∞==∑（4）现在来证明（4）式里的()nHx正是埃尔米特多项式。事实上，容易验证(,)txψ满足2,txψψ∂=∂2()0txtψψ∂+−=∂.已展开式（4）代入，即成为100'()2()!!nnnnnnttHxHxnn+∞∞===∑∑，11000()2()2()0!!!nnnnnnnnntttnHxHxxHxnnn−+∞∞∞===+−=∑∑∑.比较两边的同幂项，得1'()2()nnHxnHx−=，（5）11()2()2()0nnnHxxHxnHx+−−+=.（6）把（6）式里的n全换为1n−，得12()2()2(1)()0nnnHxxHxnHx−−−+−=.利用（5）式把上式改写为111()2'()2(1)'()022(1)nnnHxxHxnHxnn−−+−=−.再利用（5）式进一步改写，1()'()''()02nnnxHxHxHxnn−+=.这正是埃尔米特方程（1）。埃尔米特方程的多项式解只能是埃尔米特多项式，昀多相差某个常数因子。经具体验算，得知并不差常数因子。（4）里的()nHx确是埃尔米特多项式。函数22(,)txttxeψ−=因而叫做埃尔米特多项式的母函数。（6）式是埃尔米特多项式的递推公式。既然1()!nHxn是(,)txψ的泰勒展开的系数，那就有220()(1)nnnxxnnntdHxeetdxψ−=∂==−∂.（7）上式利用了§2.4习题1。这就是埃尔米特多项式的微分表示式。埃尔米特方程（1）可改写为施图姆-刘维尔型220(-)xxddyeeyxdxdxλ−−⎡⎤+=∞∞⎢⎥⎣⎦.（8）作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交关系（9.4.12）的特例，埃尔米特多项式在区间x−∞∞上带权重2xe−正交，2()()0.()xmnHxHxedxmn∞−−∞=≠∫（9）埃尔米特多项式()nHx的模nN可借助微分表达式（7）并累次分布积分而算得，[]222()2!xnnnNHxedxnπ∞−−∞==∫.（10）根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质④[见§9.4]，在区间x−∞∞上，以埃尔米特多项式为基本函数族，可把函数()fx展开为20()(),1()().2!nnnxnnnfxfHxffxHxedxnπ∞=∞−−∞⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∫（11）六、拉盖尔多项式常微分方程''(1)'0(0)xyxyyxλ+−+=∞（1）叫做拉盖尔方程。00x=是拉盖尔方程的正则奇点。在00x=及其邻域上为有限的级数解是0222()(1)()1(1!)(2!)()(1)(1).(!)kyxaxkxkλλλλλλ⎡−−−=+++⋅⋅⋅⎢⎣⎤−−⋅⋅⋅−−++⋅⋅⋅⎥⎦（2）级数的收敛半径为无限大。如λ为整数，解()yx退化为λ次多项式，记作L()nx。于0,λ=有0L()1x=，1,λ=1L()1xx=−+.2,λ=22L()42xxx=−+.3,λ=323L()9186xxxx=−+−+.4,λ=4324L()16729624xxxxx=−+−+.5,λ=54325L()25200600600120xxxxxx=−+−+−+.函数(1)(,)1txtetxtψ−−=−在00t=的邻域上是解析的，可在00t=的邻域上展开为泰勒级数0(,)L().!nnnttxxnψ∞==∑（3）现在来证明（3）式里的L()nx正是拉盖尔多项式。既然（3）式里的1L()!nxn是(,)txψ的泰勒展开系数，那就有0L()().nnxnxnnntdxexetdxψ−=∂==∂（4）只需证明（4）式正是拉盖尔多项式就行了。令,nxzxe−=容易验证，z满足'()0.xzxnz+−=上式对x求导1n+次，[][][]22(1)(1)0.nnnxzxznz++++++=这是说，[]nuz≡满足''(1)'(1)0.xuxunu++++=参照（4）式，作函数变换()L()xuxex−=，得L()x所满足的方程''(1)'0,xLxLnL+−+=这正是拉盖儿方程（1）。拉盖儿方程的多项式解只能是拉盖儿多项式，昀多相差某个常数因子。经具体验算，得知并不差常数因子。（3）和（4）里的L()nx确是拉盖儿多项式。函数(1)(,)1txtetxtψ−−=−因而叫做拉盖儿多项式的母函数。（4）式是拉盖儿多项式的微分表达式。拉盖儿方程（1）可改写为施图姆-刘维尔型0.(0)xxddyxeeyxdxdxλ−−⎡⎤+=∞⎢⎥⎣⎦（5）作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交关系（9.4.12）的特例，拉盖儿多项式在区间x−∞∞上带权重2xe−正交，0L()L()0.()xmnxxedxmn∞−=≠∫（6）拉盖儿多项式的模nN可借助微分表示式（4）并累次分布积分而算得，[]2220L()(!).xnnNxedxn∞−==∫（7）根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质④[见§9.4]，在区间x−∞∞上，以拉盖儿多项式为基本函数族，可把函数()fx展开为020()L(),1()L().(!)nnnxnnfxfxffxxedxn∞=∞−⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∫(8)七、Γ函数（第二类欧拉积分）一般的“高等数学”教材都讲到实变数x的Γ函数10()(0).txxetdtx∞−−Γ=∫（1）上式右边的积分收敛条件是0x，所以（1）式只定义了0x的Γ函数。根据定义（1），20012000(1)0,1()222.tttttedteetdtedtedtπ∞∞−−∞∞−−∞−⎧Γ==−=⎪⎪⎪Γ==⎨⎪⎪==⎪⎩∫∫∫∫（）（2）对0(1)txxetdt∞−Γ+=∫进行分部积分，可得递推公式(1)()xxxΓ+=Γ，即1()(1)xxxΓ=Γ+。（3）如x为正整数n，则从（3）式得(1)()(1)(1)!