北师大版高中数学必修5《简单线性规划》课件

4.2简单线性规划学习目标思维脉络1.了解线性规划的意义.2.理解目标函数、约束条件、二元线性规划、可行解、可行域、最优解等概念.3.掌握图解法,会用图解法求解线性规划问题.1.线性规划中的基本概念名称定义目标函数求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫作目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性规划问题在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题,称为线性规划问题可行解满足约束条件的解(x,y)称为可行解可行域由所有可行解组成的集合称为可行域最优解可行域内使目标函数取得最大值或最小值的解称为最优解名师点拨线性约束条件和线性目标函数:(1)线性约束条件是指由变量x,y的一次不等式组构成的约束条件;(2)线性目标函数是指关于变量x,y的一次式.2.简单的线性规划问题(1)目标函数中y的系数大于0时的线性规划问题.一般地,设目标函数为z=ax+by+c,当b0时,把直线l0:ax+by=0向上平移时,所对应的z随之增大;把l0向下平移时,所对应的z随之减小.由此可得到,在约束条件下,当b0时,求目标函数的最大值或最小值的过程为:①作出可行域;②作出直线l0:ax+by=0;③确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点;④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值.(2)目标函数中y的系数小于0时的线性规划问题.一般地,在线性约束条件下,当b0时,把直线ax+by=0向下平移时,z=ax+by+c的值增大;把直线ax+by=0向上平移时,z=ax+by+c的值减小.由此可得到,在约束条件下,当b0时,求目标函数的最大值或最小值的求解程序与b0时相同,即为:①作出可行域;②作出直线l0:ax+by=0;③确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点;④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值.【做一做】目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是()A.该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线的纵截距的相反数D.该直线的横截距解析:z=2x-y可变形为y=2x-z,所以z的意义是该直线在y轴上截距的相反数.故选C.答案:C归纳总结求解线性规划问题的基本步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求”,即:(1)作图:在平面直角坐标系中,画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);(2)平移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;(3)求值:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)约束条件是关于变量的不等式,其中次数必须为1.()(2)线性目标函数的最优解一定是唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上.()(4)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)×探究一探究二思维辨析【例1】已知变量x,y满足下列条件:3𝑥-𝑦-2≥0,𝑥-𝑦+2≥0,𝑥-2𝑦+1≤0,𝑥≤5,𝑦≤5.试求:(1)z=4x-y的最大值;(2)z=x-y的最小值;(3)z=x+2y的最大值;(4)z=x+y的最小值.探究一求线性目标函数的最值问题探究一探究二思维辨析解:画出不等式组所对应的可行域(如图),由每条直线的方程可以求出A(1,1),B(2,4),C(3,5),D(5,5),E(5,3).探究一探究二思维辨析(1)令z=0,作出直线l1:4x-y=0,当直线l1向下平移时,函数值z随之增大,所以当l1经过点E时,z取最大值,且zmax=4×5-3=17.(2)令z=0,作出直线l2:x-y=0,当直线l2向上平移时,函数值z随之减小,因为l2与直线x-y+2=0平行,所以当l2经过线段BC时,z取最小值,且zmin=3-5=-2.(3)令z=0,作出直线l3:x+2y=0,当直线l3向上平移时,函数值z随之增大,所以当l3经过点D时,z取最大值,且zmax=5+5×2=15.(4)令z=0,作出直线l4:x+y=0,当直线l4向下平移时,函数值z随之减小,所以当l4经过点A时,z取最小值,且zmin=1+1=2.探究一探究二思维辨析反思感悟1.求线性目标函数的最值问题,关键是准确地作出可行域,且要正确地把握目标函数的几何意义.一般步骤是:首先在平面直角坐标系内作出可行域;然后利用平移的方法在可行域内找到最优解所对应的点;最后将最优解代入目标函数求出最大值或最小值.2.在目标函数z=ax+by中,若b0,则向上平移时z增大,向下平移时z减小;若b0,则向下平移时z增大,向上平移时z减小.探究一探究二思维辨析变式训练1若变量x,y满足约束条件𝑥+𝑦≥-1,2𝑥-𝑦≤1,𝑦≤1,则z=3x-y的最小值为()A.-7B.-1C.1D.2答案:A探究一探究二思维辨析【例2】实数x,y满足𝑥-𝑦+1≤0,𝑥0,𝑦≤2.(1)若z=𝑦𝑥,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.分析:先画出不等式组所表示的平面区域,再根据各个目标函数的几何意义求解.探究二求非线性目标函数的最优解探究一探究二思维辨析解:由𝑥-𝑦+1≤0,𝑥0,𝑦≤2,作出可行域,如图中阴影部分.(1)z=𝑦𝑥表示可行域内任意一点与坐标原点连线的斜率,因此𝑦𝑥的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在).而由𝑥-𝑦+1=0,𝑦=2,得B(1,2),所以kOB=21=2.所以zmax不存在,zmin=2.所以z的取值范围是[2,+∞).探究一探究二思维辨析(2)z=x2+y2表示可行域内任意一点与坐标原点之间距离的平方.所以x2+y2最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.由𝑥-𝑦+1=0,𝑥=0,得A(0,1).所以|OA|2=(√02+12)2=1,|OB|2=(√12+22)2=5,所以z的最大值为5,没有最小值.所以z的取值范围是(1,5].探究一探究二思维辨析反思感悟1.所谓非线性目标函数,就是目标函数不是关于x,y的一次式,常见的非线性目标函数主要有以下两类:(1)形如z=(x-a)2+(y-b)2型;(2)形如𝑎𝑦+𝑏𝑐𝑥+𝑑(ac≠0)型.2.对两类非线性目标函数最值的求解,关键是首先弄清目标函数的几何意义,然后用数形结合的方法求解.(1)形如z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数,该类型的目标函数均可化为可行域内的点(x,y)与点(a,b)间的距离的平方.特殊地,𝑥2+𝑦2表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离.探究一探究二思维辨析(2)形如z=𝑎𝑦+𝑏𝑐𝑥+𝑑(ac≠0)型的目标函数,该类型的目标函数可先变形为z=𝑎𝑐·𝑦--𝑏𝑎𝑥--𝑑𝑐的形式,将问题转化为求可行域内的点(x,y)与点-𝑑𝑐,-𝑏𝑎连线斜率的𝑎𝑐倍的最值问题.特别地,𝑦𝑥表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;𝑦-𝑏𝑥-𝑎表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.探究一探究二思维辨析变式训练2已知𝑥-𝑦+2≥0,𝑥+𝑦-4≥0,2𝑥-𝑦-5≤0,求:(1)z=x2+y2-10y+25的最小值;(2)z=2𝑦+1𝑥+1的取值范围.探究一探究二思维辨析解:作出可行域如图.求出交点坐标分别为A(3,1),B(1,3),C(7,9).(1)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任意一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过点M作BC的垂线,垂足为N,易知垂足N在线段BC上.所以|MN|=|0-5+2|1+(-1)2=3√2=3√22,|MN|2=92,所以z=x2+y2-10y+25的最小值为92.(2)z=2𝑦+1𝑥+1=2·𝑦--12𝑥-(-1)的几何意义表示为区域内的动点P(x,y)与定点D-1,-12连线的斜率的2倍.因为kDB=74,kDA=38,所以z的取值范围是34,72.探究一探究二思维辨析因作图出错导致结果错误【典例】设变量x,y满足𝑥+𝑦≤1,𝑥-𝑦≤1,𝑥≥0,则x+2y的最大值和最小值分别为()A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1错解:作出可行域如图,设z=x+2y,作l0:x+2y=0,把l0向左下方平移到点(0,-1)时,z有最小值,zmin=-2.把l0向右上方移到(1,0)时,z有最大值,zmax=1.探究一探究二思维辨析正解:作出可行域(如图阴影部分),设z=x+2y,作l0:x+2y=0,把l0向左下方平移到点(0,-1)时,z有最小值,此时zmin=0+2×(-1)=-2.把l0向右上方平移到点(0,1)时,z有最大值,此时zmax=0+2×1=2.答案:B探究一探究二思维辨析纠错心得1.对于线性规划问题,正确作出可行域是解决问题的基础.2.对于可行域边界的虚实,及线性目标函数中直线的斜率与可行域中直线的斜率的比较是问题的核心.3.对于本题来说,未能分析好x+2y=0的斜率与x+y=1的斜率大小关系,导致画图出错.123451.已知变量x,y满足条件𝑥≥1,𝑦≤2,𝑥-𝑦≤0,则x+y的最小值是()A.4B.3C.2D.1解析:设x+y=b,则y=-x+b,画出可行域,如图阴影部分.利用图解法,知当直线y=-x+b过点M时,b取最小值.由𝑥=1,𝑥-𝑦=0,得M(1,1),则x+y的最小值是2.答案:C123452.设变量x,y满足约束条件𝑥≥1,𝑥+𝑦-4≤0,𝑥-3𝑦+4≤0,则目标函数z=3x-y的最大值为()A.-4B.0C.43D.4解析:根据不等式组,作出可行域,如图△ABC内部及边界.画直线l0:3x-y=0,平行移动l0到直线l的位置,经过可行域内点C时,目标函数z取到最大值.解方程组𝑥-3𝑦+4=0,𝑥+𝑦-4=0,得C(2,2).因此,当x=2,y=2时,z取最大值,zmax=3×2-2=4.答案:D解析:画出可行域,如图.𝑦𝑥可看为区域内的点与点(0,0)连线的斜率.𝑦𝑥min=kAO=95,𝑦𝑥max=kBO=6.123453.已知变量x,y满足约束条件𝑥-𝑦+2≤0,𝑥≥1,𝑥+𝑦-7≤0,则𝑦𝑥的取值范围是.答案:95,64.已知x,y满足约束条件𝑥≥1,𝑦≥-1,4𝑥+𝑦≤9,𝑥+𝑦≤3,若2≤m≤4,则目标函数z=y+mx的最大值的变化范围是.12345解析:如图所示,画出不等式组所表示的区域,作直线l:mx+y=0,m∈[2,4],可知当x=2,y=1时,zmax=2m+1∈[5,9].答案:[5,9]5.设z=x+2y,其中实数x,y满足𝑥-𝑦+1≥0,𝑥+𝑦-2≤0,𝑥≥0,𝑦≥0,求z的取值范围.12345解:画出不等式组表示的可行域如图阴影部分,结合图像知,点O,点C分别使目标函数取得最小值、最大值.由𝑥-𝑦+1=0,𝑥+𝑦-2=0,解得C12,32.代入得最小值为0,最大值为72.所以z的取值范围是0,72.