2011《金版新学案》高三数学一轮复习 函数 第一章第四节 函数的基本性质课件

第四节函数的基本性质1．函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，①若，则f(x)在上是增函数．②若，则f(x)在上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．f(x1)＜f(x2)区间Df(x1)＞f(x2)区间D增函数减函数区间D单调区间与函数定义域有何关系？【提示】单调区间是定义域的子区间．(1)用定义证明函数单调性的一般步骤①取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.②作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断：根据定义得出结论．(2)求函数的单调性或单调区间的方法①利用已知函数的单调性．②定义法：先求定义域，再利用单调性定义．③图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．2．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有．(2)存在x0∈I，使得.那么，我们称M是函数y＝f(x)的．最值与函数的值域有何关系？【提示】函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．f(x)≤M(或f(x)≥M)f(x0)＝M最大值(最小值)(1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．3．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内x都有，那么函数f(x)是偶函数.关于对称奇函数如果函数f(x)的定义域内x都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．任意一个f(－x)＝f(x)任意一个f(－x)＝－f(x)原点y轴奇偶函数的定义域有何特点？【提示】由于定义中对任意一个x都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的－x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称．(1)定义域含零的奇函数有f(0)＝0(可用于求参数)；若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性．(2)奇函数在对称的两个单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的两个单调区间内有相反的单调性．1．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()【解析】使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋1＜0，即k＜.【答案】D2．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增【解析】∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－＜0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．【答案】B3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()【解析】依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13＋0＝13【答案】B4．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝______.【解析】令x0，∴－x0，g(－x)＝－2x－3，∴g(x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.【答案】2x＋35．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．【解析】依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y＝f(x)为增函数．【答案】①③函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x12x－1＋12；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝x－1，(x0)，0，(x＝0)，x＋1，(x0).【思路点拨】首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(－x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)．【解析】(1)函数f(x)的定义域为x≠0的一切实数，f(－x)＝－x12－x－1＋12＝x12x－1＋12＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，且f(1)＝f(－1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(－x)＝－x－1，(－x0)0，(－x＝0)－x＋1，(－x0)＝－(x＋1)，(x0)0，(x＝0)－(x－1)，(x0)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．函数单调性的判定与证明判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．【解析】方法一：设－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝a(x1x2＋1)(x2－x1)(x12－1)(x22－1).∵(x1x2＋1)(x2－x1)(x12－1)(x22－1)0，∴a0时，f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；a0时，f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．方法二：对f(x)求导，有f′(x)＝∵x∈(－1,1)，∴(x2－1)20，x2＋10，∴当a0时，f′(x)0，f(x)为增函数．当a0时，f′(x)0，f(x)为减函数．利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时，比较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法，有时可运用作商法、放缩法等；讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域．1．已知函数f(x)＝(x∈R)，求f(x)的单调区间，并加以证明．【解析】∵f(x)＝xx2＋1(x∈R)是奇函数，∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x12＋1－x2x22＋1＝(x2－x1)(x1x2－1)(x12＋1)(x22＋1).∵x12＋1＞0，x22＋1＞0，x2－x1＞0，而x1，x2∈(0,1)时，x1x2－1＜0；x1，x2∈[1，＋∞]时，x1x2－1＞0，∴当x1，x2∈(0,1)时，f(x1)－f(x2)＜0，函数y＝f(x)是增函数；当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)＞0，函数y＝f(x)是减函数．又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数；又x∈[0,1)，u∈(－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取得，故f(x)在(－1,1)上是增函数．综上可知，函数f(x)在(－1,1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．函数的奇偶性与单调性的综合函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.【解析】(1)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0.∴f(x2)＞f(x1)，即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.∴原不等式可化为f(3m2－m－2)＜f(2)．∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2＜2.f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)＜f(x2)⇔f(x1)－f(x2)＜0，若函数是增函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2，函数不等式(或函数方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．2．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．【解析】∵f(x)是偶函数∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)∴不等式f(1－m)＜f(m)⇔f(|1－m|)＜f(|m|)又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，∴|1－m|＞|m|－2≤1－m≤2，－2≤m≤2解得－1≤m＜12.即所求实数m的取值范围是－1≤m＜12.(1)本节内容高考主要考查求函数的单调区间，也可能是考查函数单调性的应用，如解不等式、比较大小以及求函数最大值和最小值等．(2)函数的奇偶性和周期性是函数最重要的性质，是高考的热点，它与函数的其他性质有着密不可分的联系，在解决函数的图象和性质等问题过程中起着举足轻重的作用．1．(2009年福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)【解析】由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，在A中，由f′(x)＝－＜0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数；在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数．在D中，由f′(x)＝且x＋1＞0和f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．【答案】A2．(2009年江西卷)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为()A．－2B．－1C．1D．2【解析】f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.【答案】C课时作业点击进入链接