第33讲 等比数列

课前准备《优化设计》+《课时训练》+练习本.1111,1111qqqaaqqaqnaSnnn名称等比数列定义通项公式前n项和等比中项a，G，b成等比)0(1qqaann2(0)GabGabab或an=a1qn－1=amqn－m知识归纳1、等比数列通项及前n项和na（2）等比数列中，2mnkaaa则若2mnk，知识归纳2、等比数列的性质mnklaaaa则,lknm若(0)nnSAqAAna___________是（1）na____maq=。nmnaqn,nS,,,232nnnnnSSSSS(4)若为等比数列,公比为,它的前项和为则为等比数列，公比为_______。nnT,,,232nnnnnTTTTT若它的前项积为，则为等比数列，公比为________。nq()nnqnaq,,,,32knknknnaaaa(3)若为等比数列，公比为,则成等比数列，公比为kq2、等比数列的性质知识归纳na)1,0}({logaaana（5）各项为正的等比数列,则数列为等差数列.naCCna}({（6）数列为等差数列,则数列为正常数)为等比数列.2、等比数列的性质知识归纳摆动数列常数列递减递增________________________________________________________________________________1aq（7）增减性：（填当和的满足的条件）aqaqa,,（8）三数成等比数列，则三数可以设为.101aq1001aq或1q1q1001aq101aq或2、等比数列的性质知识归纳典例剖析题型一等比数列的判定11,nnanS例、（）若等比数列的前项和是,48nS______,6032nnSS则5631323102,81,logloglog____naaaaaa（）正项等比数列中则63203,nnanS（）等比数列的前项和是,333aS______q则公比112或典例剖析题型二等比数列性质的应用典例剖析题型二等比数列性质的应用典例剖析题型二等比数列性质的应用例2、例1、已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对n∈N*均有=an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2010.nnbcbcbc2211典例剖析题型三等差、等比综合解（1）由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∴（1+4d）2=(1+d)(1+13d).解得d=2(∵d＞0).2分∴an=1+(n-1)·2=2n-1.3分又b2=a2=3,b3=a5=9,∴数列{bn}的公比为3,∴bn=3·3n-2=3n-1.5分（2）由得当n≥2时,两式相减得:n≥2时,=an+1-an=2.8分.112211nnnabcbcbc12211nnnabcbcbcnnbc∴cn=2bn=2·3n-1(n≥2).又当n=1时，=a2,∴c1=3.3(n=1)2·3n-1(n≥2).10分∴c1+c2+c3+…+c2010=3+=3+(-3+32010)=32010.12分11bc∴cn=313260102例2、已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).（1）设bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项.典例剖析题型三等差、等比综合（1）证明：由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2），得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2.由b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列.（2）解由（1），a2-a1=1，a3-a2=q，…an-an-1=qn-2(n≥2).将以上各式相加，得an-a1=1+q+…+qn-2即an=a1+1+q+…+qn-2(n≥2).所以当n≥2时，（3）由（2），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得q3-1=1-q6,上式对n=1显然成立..1,,1,1111qnqqqann①整理得（q3）2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1（舍去）于是q=.另一方面，an-an+3=an+6-an=由①可得an-an+3=an+6-an,即2an=an+3+an+6，n∈N*.所以对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项.32),1(113112qqqqqqnnn).1(116151qqqqqqnnn