一类轨迹问题的探求(阿波罗尼斯圆与卡西尼卵形线)

专题：一类动点轨迹问题的探求专题来源：学习了“椭圆的标准方程”后，对于2PAPBa，我们可以进一步研究：2,2,2PAPAPBaPAPBaaPB，各自的轨迹方程如何？引例：已知点(,)Mxy与两定点(0,0),(3,0)OA的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系？（必修2P103探究·拓展）探究已知动点M与两定点A、B的距离之比为(0)，那么点M的轨迹是什么？背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一类题1：(1994,全国卷)已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ0).求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.解：如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ0.——2分因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1.——4分设点M的坐标为(x，y)，则222221yxyx——5分整理得(λ2－1)(x2+y2)－4λ2x+(1+4λ2)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.——8分当λ=1时，方程化为x=45，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点(45，0)，当λ≠1时，方程化为(x－1222)2+y2=222131它表示圆，该圆圆心的坐标为(1222，0)，半径为13122——12分类题2：（2008，江苏）满足条件AB2，AC2BC的ABC的面积的最大值是______类题3：（2002，全国）已知点P到两定点)0,1(M、)0,1(N距离的比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程解：设P的坐标为),(yx，由题意有2||||PNPM，即2222)1(2)1(yxyx，整理得01622xyx因为点N到PM的距离为1，2||MN所以30PMN，直线PM的斜率为33，直线PM的方程为)1(33xy将)1(33xy代入01622xyx整理得0142xx解得32x，32x则点P坐标为)31,32(或)31,32()31,32(或(23,13)，直线PN的方程为1xy或1xy．类题4：（2006，四川）已知两定点(2,0),A(1,0),B如果动点P满足条件2,PAPB则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_________类题5：（2011，浙江）P,Q是两个定点，点Ｍ为平面内的动点，且(01MPMQ且），点Ｍ的轨迹围成的平面区域的面积为S，设()Sf，试判断函数的单调性．引例：（2011，北京）曲线C是平面内与两个定点1(1,0)F和2(1,0)F的距离的积等于常数)1(2aa的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则12FPF的面积不大于212a其中正确命题的序号为_____________背景展示：在数学史上，到两个顶点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹成为卡西尼卵形线（CassiniOval），乔凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的法国籍天文学家和水利工程师，他是第一个发现土星的四个卫星的人.1675年，他发现土星光环中间有条暗缝，这就后来以他名字命名的卡西尼环缝。他猜测，光环是由无数小颗粒构成，两个多世纪后的分光观测证实了他的猜测。为了纪念卡西尼对土星研究的贡献，当代人类探测土星的探测器“卡西尼号”即以他的名字命名。卡西尼卵形线是1675年他在研究土星及其卫星的运行规律时发现的。探究：设两定点为12,FF，且122FF，动点P满足212(0)PFPFaa且为定值,取直线12FF作为x轴，12FF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设(,)Pxy，则22222(1)(1)xyxya整理得：222222()2()1xyxya解得：2222(1)4yxxa（211axa）于是曲线C的方程可化为2222(1)4yxxa（211axa）对于常数0a,可讨论如下六种情况：（1）当0a时，图像变为两个点12(1,0),(1,0)FF；（2）当01a时，图像分为两支封闭曲线，随着a的减小而分别向点12,FF收缩；（3）当1a时，图像成8字形自相交叉，称为双纽线；（4）当12a时，图像是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部有凹进的细腰；（5）当=2a时，与前种情况一样，但曲线中部变平；（6）当2a时，曲线中部凸起。北京高考题的背景即为本研究的4—6里研究的结论；学有余力的同学可作进一步思考：思考1：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之比为定值的动点轨迹是什么？思考2：若将“两定点”之一变为“定直线”，那么距离之和为定值的动点轨迹是什么？思考3：到定点的距离与到定直线的距离的k倍之和为定值的定点轨迹是什么？思考4：到定点的距离与到定直线的距离之差（的绝对值）为定值的定点轨迹是什么？思考5：到定点的距离与到定直线的距离之积为定值的定点轨迹是什么？在高考试题中常常以这类轨迹问题的探究为背景来设计考查综合能力的试题，如1.（2009湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3,0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则224(3)dxy3︳x-2︳由题设当x2时，由①得221(3)6,2xyx化简得221.3627xy当2x时由①得22(3)3,xyx化简得212yx故点P的轨迹C是椭圆221:13627xyC在直线x=2的右侧部分与抛物线22:12Cyx在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与1C，2C的交点都是A（2，26），B（2，26），直线AF，BF的斜率分别为AFk=26，BFk=26.当点P在1C上时，由②知162PFx.④当点P在2C上时，由③知3PFx⑤若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为(3)ykx（i）当k≤AFk，或k≥BFk，即k≤-26时，直线I与轨迹C的两个交点M（1x，1y），N（2x，2y）都在C1上，此时由④知∣MF∣=6-121x∣NF∣=6-122xw.w.w.k.s.5.u.c.o.m从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-121x）+（6-122x）=12-12(1x+2x)由22(3)13627ykxxy得2222(34)24361080kxkxk则1x，1y是这个方程的两根，所以1x+2x=222434kk*∣MN∣=12-12（1x+2x）=12-221234kk因为当226,6,24,kk或k2时22212121001212.134114kMNkkw.w.w.k.s.5.u.c.o.m当且仅当26k时，等号成立。（2）当,2626AEANkkkk时，直线L与轨迹C的两个交点1122(,),(,)MxyNxy分别在12,CC上，不妨设点M在1C上，点2C上，则④⑤知，1216,32MFxNFx设直线AF与椭圆1C的另一交点为E00012(,),,2.xyxxx则1021166,33222MFxxEFNFxAF所以MNMFNFEFAFAE。而点A，E都在1C上，且26,AEk有（1）知100100,1111AEMN所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m若直线的斜率不存在，则1x=2x=3，此时12110012()9211MNxx综上所述，线段MN长度的最大值为100112.（2011,湖南文科高考试题）已知平面内一动点P到点(1,0)F的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12,ll，设1l与轨迹C相交于点,AB，2l与轨迹C相交于点,DE，求,ADEB的最小值.21．解析：（I）设动点P的坐标为(,)xy，由题意为22(1)||1.xyx化简得222||,yxx当20,4;0xyxx时当时,y=0.、所以动点P的轨迹C的方程为2,4(0)0)yxxx和y=0(.（II）由题意知，直线1l的斜率存在且不为0，设为k，则1l的方程为(1)ykx．由2(1)4ykxyx，得2222(24)0.kxkxk设1122(,),(,),AxyBxy则12,xx是上述方程的两个实根，于是1212242,1xxxxk．因为12ll，所以2l的斜率为1k．设3344(,),(,),DxyBxy则同理可得2343424,1xxkxx故12123434()1()1xxxxxxxx当且仅当221kk即1k时，ADEB取最小值16．