两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1第三章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知cos2θ＝23，则sin4θ＋cos4θ的值为()A.1318B.1118C.79D．－12．若α∈(0，π2)，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.33．已知α＋β＝π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是()A．－1B．1C．2D．44．若α－π4cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为()A．－72B．－12C.12D.725．已知tanα＝14，tan(α－β)＝13，则tanβ＝()A.711B．－117C．－113D.1136．－cos2155°－sin225°的值为()A．－32B．－12C.12D.322二、填空题7．已知sinα＝12＋cosα，且α∈(0，π2)，则cos2αα－π4的值为____．8．已知tan(x＋π4)＝2，则tanxtan2x的值为________．9．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－513，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是35，则cosα＝________.三、解答题10．已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求3sin2x2－2sinx2cosx2＋cos2x2tanx＋1tanx的值．11．已知tanα＝－13，cosβ＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．12．已知函数f(x)＝2sin(13x－π6)，x∈R.(1)求f(5π4)的值；3(2)设α，β∈[0，π2]，f(3α＋π2)＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．详解答案：1．解析：∵cos2θ＝23，∴sin22θ＝79.∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－12(sin2θ)2＝1118.答案：B2．解析：因为sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＝14，sin2α＝1－cos2α＝34，∵α∈(0，π2)，∴cosα＝12，sinα＝32，tanα＝sinαcosα＝3.答案：D3．解析：∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.答案：C4．解析：∵22(sinα－cosα)＝－2(cos2α－sin2α)∴sinα＋cosα＝12.答案：C5．解析：tanβ＝tan[α－(α－β)]4＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝14－131＋112＝－113.答案：C6．解析：－sin270°－20°cos90°－20°cos225°－sin225°＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝sin90°－50°2cos50°＝12.答案：C7．解析：依题意得sinα－cosα＝12，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋(12)2＝2，故(sinα＋cosα)2＝74；又α∈(0，π2)，因此有sinα＋cosα＝72，所以cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－142.答案：－1428．解析：因为tan(x＋π4)＝2，所以tanx＝13，tan2x＝2×131－19＝2389＝34，即tanxtan2x＝49.答案：499．解析：由题意知，cosβ＝－513，sin(α＋β)＝35，又∵α，β∈(0，π)，∴sinβ＝1213，cos(α＋β)＝－45.∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－45×(－513)＋1213×35＝2065＋36655＝5665.答案：566510．解：(1)由sinx＋cosx＝15两边平方得1＋2sinxcosx＝125，所以2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.又∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，∴sinx－cosx0.故sinx－cosx＝－75.(2)3sin2x2－2sinx2cosx2＋cos2x2tanx＋1tanx＝2sin2x2－sinx＋1sinxcosx＋cosxsinx＝cosx(2－cosx－sinx)＝(－1225)×(2－15)＝－108125.11．解：(1)由cosβ＝55，β∈(0，π)，得sinβ＝255，即tanβ＝2.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21＋23＝1.(2)∵tanα＝－13，α∈(0，π)，∴sinα＝110，cosα＝－310.∴f(x)＝－355sinx－55cosx＋55cosx－255sinx＝－5sinx.∴f(x)的最大值为5.612．解：(1)f(5π4)＝2sin(13×54π－π6)＝2sinπ4＝2.(2)∵1013＝f(3α＋π2)＝2sin13×3α＋π2－π6＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin[13×(3β＋2π)－π6]＝2sin(β＋π2)＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35，又∵α，β∈[0，π2]，∴cosα＝1－sin2α＝1－5132＝1213，sinβ＝1－cos2β＝1－352＝45，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝35×1213－513×45＝1665.