正方形中的垂直线段专题(教师版)【上体馆中心】

（1）如图，在正方形ABCD中，BE=CF，则线段AE与线段BF的关系是什么？答：AE=BF,AE⊥BF（2）如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，则AE=BF吗？答：AE=BF【方法：证明三角形ABE全等与三角形BCF】探究活动1在正方形ABCD内有一点P，过点P作直线EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，（如图所示）那么EF与GH相等吗？答：相等，即GH=EF，如下图构造全等！当然，若已知GH=EF，则EF⊥GH不一定成立！！举个反例试试！如下：运用1如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，折痕为MN，点N在CD边上，请同学们画出折痕，则折痕MN的长是______；线段CN的长是____.点评：1、如图所示的标图信息，解决本例的关键是作出对称轴，构造互相垂直的结构。2、画出折痕是翻折问题中的重要一步，学生务必强化这方面的画图能力：联結对称点的线段被对称轴垂直且平分。3、运用勾股定理列方程是常用解法，用相似三角形或三角比列比例式求解也是可行方法。运用2如图，将边长为24cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC边上的E点，压平得折痕为FG，若FG的长为25cm，则线段CE的长是_______.探究活动2如图，现有一张边长为4的正方形纸ABCD，点P为正方形AD边上的一个动点，（不与A、D重合），将正方形纸片折叠，使得点B落在P处，点C落在G处，PG交DC边于点H，折痕为EF，连接BP.问：图中始终相等的线段有哪些？问：当点P在AD边的中点时，梯形EBCF的面积是多少？注：MC和NF是两种不同的添线方法。点评：本例在梯形面积求解时，借助正方形内垂直结构寻找辅助线的思路，“垂直结构”将是一个很好的线索作用。追问：当点P在AD边上运动时，设AP=x，设梯形EBCF的面积为y，求y与x的函数解析式？探究活动3如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，EG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G.由几个不同的位置，分别观察BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你的结论。方法图解建立在垂直结构中的不同辅助线方向：本帖主题，获得正方形内部两条互相垂直的线段感性认识，激发学生思维直奔主题。本帖所提问题，源于教材，利用练习册正方形这一节的一道练习题，作为引例，引出主题：正方形内部两条互相垂直的线段。而正方形内部互相垂直的线段不止引例中的这一种情况，但这是比较简单和运用较为广泛的一种，故以此作为探究的开始，主要基于以下考虑：①由浅入深，保持探究问题研究的连贯性，使学生更能接受问题探究由浅入深的道理。②为探究活动3做好必要的衔接过渡.研究正方形，其实是做一项“承上启下”的工作，“承上”：指的是回归以前，是研究全等三角形、等腰三角形等知识；“启下”：指的是放眼未来，是图形运动、相似三角形、甚至是压轴题的图形背景。探究活动1让学生获得一般性的结论，同时感受证明的迁移，并感受引例与探究活动1在本质上的区别与联系。体会从特殊到一般的研究过程。在探究活动1之后的两道运用，是对结论的直接运用。力图做到以下4点：①能准确找出对称轴，这在中考的填空压轴题以及压轴题中作用重大.②能合理运用探究结论解决问题.③能运用图形运动思想找出运动不变性的几何结构，并会合理构造“直角三角形”，创建勾股定理.④体会例题的层次性：从画图操作直接运用------识别图形间接运用------观察图形，引出再探究内容.探究活动2实际是练习题，是探究活动1的应用，之所以独立为探究活动2，是因为它的思维量比较大，而且从特殊到一般的探究过程较为独立，能展现探究活动的一般性的研究方法。同时感受模仿学习的重要价值。探究活动3是本帖主题的升华过程，是对探究结论的拓展，同时是各种辅助线方案的综合汇总，合理讨论提升思维顿悟，回归本课主题，从难度和学习质量、思维品质上提升提升数学分析能力。本帖“以问题为载体”，力图做到①学生感悟探究的目地是培养数学学习的自主性以及提升数学学习品质，对基础图形要先探究，再运用②感悟数学探究的可持续性.