第五章测量误差基本知识

2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室1测量学第6章测量误差及数据处理的基本知识2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室2第6章测量误差及数据处理的基本知识§6.1概述§6.2测量误差的种类§6.3偶然误差的特性及其概率密度函数§6.4衡量观测值精度的指标§6.5误差传播定律§6.6同精度直接观测平差§6.7不同精度直接观测平差§6.8最小二乘法原理及其应用2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室3◆测量与观测值◆观测与观测值的分类●观测条件●等精度观测和不等精度观测●直接观测和间接观测●独立观测和非独立观测§6.1测量误差概述2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室4§6.1测量误差概述◆测量误差及其来源●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等●测量误差的表现形式●测量误差（真误差=观测值-真值）XljiijllXl（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）返回2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室5例：误差处理方法钢尺尺长误差ld计算改正钢尺温度误差lt计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均)…………2.系统误差——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差§6.2测量误差的种类1.粗差(错误)——超限的误差2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室63.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。●准确度(测量成果与真值的差异）●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）●测量平差（求解最或是值并评定精度）4.几个概念:●精（密）度（观测值之间的离散程度）返回2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室7举例:在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。§6.3偶然误差的特性2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室82020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室9用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律图6-1误差统计直方图2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室10◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。3.偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性)：0limlim21nnnnn2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室11偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图6-1误差统计直方图返回2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室121.方差与标准差由正态分布密度函数22221axex式中、为常数；a=2.72828…ex=y正态分布曲线(a=0)令：，上式为：ax22221)(efy§6.4衡量精度的指标2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室13标准差的数学意义22221)(efy表示的离散程度x=y较小较大nnnn][lim][lim2称为标准差：nnnnn][limlim22222122上式中，称为方差：2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室14测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差:观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：nn][lim上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：nnmn][22221i=i-X2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室15P123表5-22020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室16m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：m1=2.7是第一组观测值的中误差；m2=3.6是第二组观测值的中误差。2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室172.容许误差(极限误差)根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：demdfPm22221)()(误差出现在K倍中误差区间内的概率为：kmkmmdemkmP22221)(将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室183.相对误差(相对中误差)——误差绝对值与观测量之比。用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。K2K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。0.0210.021K1=——=——；K2=——=——100500020010000解：返回2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室19一.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：ixiixFf由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得对(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)设有函数：),,,(21nxxxFZ为独立观测值ix设有真误差，函数也产生真误差ixixZ(a)§6.5误差传播定律2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室20)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)对K个(e)式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室21njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjin(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：前面各项KxfKxfKxfKnn22222221212即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室2222222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室23通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室241.倍数函数的中误差设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1m2.0m5.168m2.0mm2002.01000100010001000SmmddlSlSlS解：列函数式求全微分中误差式二.几种常用函数的中误差2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室252.线性函数的中误差设有函数式全微分中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6.1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：对上式全微分：由中误差式得：2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室26函数式全微分中误差式nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平均值的中误差式由于等精度观测时，，代入上式：得mmmmn21nmmnnmX221n由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室274.和或差函数的中误差函数式：全微分：中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时：上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。解：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh2020年7月9日星期四沈阳农业大学水利学院测量教研室28观测值函数中误差公式汇总观测