等比数列的前n项和 高一数学组最终版

2.3.3等比数列的前n项和普通高中课程标准试验教科书（苏教版）(第一课时)等差数列与等比数列的类比等差数列等比数列定义首项、公差（公比）取值有无限制通项公式主要性质1(2)nnaqna11nnaaq1(2)nnaadn1(1)naand(1)()nmaanmd(1)nmnmaaq(2)若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*)则am·an=as·at.(2)若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*)则am+an=as+at.1,aRdR10,0aq(3)2an=an-1+an+1.(等差中项）(3)an2=an-1·an+1.（等比中项）一知识回顾※探索并掌握等比数列前n项和的公式，能够运用公式解决相应问题。※通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法，渗透分类讨论思想，转化思想，优化思维品质。※通过经历对公式的探索，从中获得成功的体验。知识与技能目标情感与态度目标过程与方法目标2．创设情境，提出问题64个格子1223344551667788你想得到什么样的赏赐？OK请在第一个格子放1颗麦粒请在第二个格子放2颗麦粒请在第三个格子放4颗麦粒请在第四个格子放8颗麦粒依次类推……陛下，赏小人一些麦粒就可以。设问1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？23631+2+2+2++2=请大家一起回忆一下等差数列的前n项和公式的推导过程？Sn=a1+a2+a3+……+an-2+an-1+an①Sn=an+an-1+an-2+……+a3+a2+a1②①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+(a1+an)这样2Sn就是一个有n项的每一项都是a1+an的常数列。2Sn=n(a1+an)Sn=２)a+n(an1回顾旧知倒序相加法2．师生互动，探究问题设问2:发明者要求的麦粒总数是：S64=1+2+22+···+263①上式有何特点？注意观察后一项与前一项的关系设问3:如果①式两边同乘以2得2S64=2+22+23+···+263+264②比较①、②两式，你有什么发现？后一项都是前一项的2倍①、②两式有很多相同的项我们能否找到S64=1+2+22+……+263的规律也构造出一个易于我们求和的常数列呢？-S64=1+0+0+……+0-264S64=264-1＝18446744073709551615≈1.84×1019S64=1+2+22+23+···+263①2S64=2+22+23+···+263+264②相加？相减？各项为零的常数列获得灵感如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨.根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦。错位二个疑难点：因为数列的公比为2因为想消去共同项，构造常数列，化无限和为有限和1为什么要对1式同时乘以2？2为什么要错位相减请同学们考虑如何求出这个和？①②即由②－①可得：试一试13222221nnSnnnS222222132)22221()22222(2132132nnnnnSS12nnS这种求和的方法,就是错位相减法!等比数列的前n项和公式的推导：一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…它的前n项和是∴当q≠1时，①1naSn或②nnaaaaS32111321nnnnqaaaaaaS由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得nnqaaSq11)1(当q=1时，等比数列的前n项和是什么？这种求和的方法,就是错位相减法!qqaSnn1)1(1qqaaSnn11等比数列的前n项和公式qqaaqqaaSnnn11111:1时q1、使用公式求和时，需注意对和的情况分类讨论1q1q)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn2、推导公式的方法：错位相减法注意：已知a1,q,n求Sn已知a1,q,an求Sn小组合作公式记忆1min环节1环节2例题解析公式应用例1)1()2(在等比数列中}{na101,21q-4,aSkSqa,3,2431,ak11281023364210=1024练习11.课本p523.(1),(3)变式1变式22311naaaa2求下列等比数列求和11(1),1,100;2aqn求Sn2在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，求公比q，an方法二∵(a1+a2+a3)·q3=a4+a5+a6,而a4+a5+a6=S6-S3=56,∴7·q3=56,q3=8,q=2.qqa1)1(31qqa1)1(61解析方法一依题意，q≠1,∵=7，①=63.②②÷①得1+q3=9,∴q3=8,∴q=2.a1=1，an=2n-1例2分类讨论思想和方程的思想点评：1q为字母不确定时一定要注意分类讨论2知三求二1nnaqnas、、、、练习2在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若a3=-12，S3=-9，求公比q的值课堂小结,111qqannS,1na(q=1).(q≠1).{1.已知则qna,,1,11qqaannS,1na(q=1).(q≠1).{已知则qaan,,12.对公比含字母的题目一般要分别考虑情况。特殊到一般，错位相减法，分类讨论思想，方程思想3、思想方法小结1nnaqnas、、、、知三求二q=1和q≠1填表数列等差数列等比数列前n项和公式推导方法21nnaanSdnnna211qqann111Sqqaan111q【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑.倒序相加错位相减公比q是否为1作业1.阅读教材第50页至第51页2.课时讲义12312482nnS选做题：：课后探究；23223nSxxxnx