计数原理(排列组合)练习

数学高考总复习：记数原理知识网络知识要点梳理知识点一：加法原理和乘法原理1．加法原理，又叫分类计数原理：完成一件事，有n类方法：在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第n类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.2．乘法原理，又叫分步计数原理：完成一件事需n个步骤，做第一步有种不同方法，做第二步有种不同方法，……，做第n步有种不同方法，则完成这件事共有：种不同的方法.3．加法原理与乘法原理区别与联系（1）加法原理中每一种方法就可以完成这件事.乘法原理中每一种方法无法完成这件事，只有当各个步骤中的每一步都完成，才能完成这件事；（2）加法原理中类与类是独立的，乘法原理中步与步是连续的。（3）两个原理是理解排列与组合的概念，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。4．利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序应是：首先明确要完成的事件是什么；然后考虑如何完成，是分类，还是分步？还是先分类，在每一类里再分步？等等；最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？知识点二：排列1．定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.注意：（1）排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排成一列.”这里“一定顺序”指每次取出的元素与它所排“位置”有关.所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为我们判断问题是否是排列问题的标准.（2）只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为。知识点三：组合1．定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合.2．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记为。3．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数与从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数唯一差别就在于对“序”的考虑，由此也就得到从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数与从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数的关系的两个基本解释：（1）由任何一个含m个元素的组合都可以进一步对m个元素做全排列，得到个含m个元素的排列，即。（2）全体含m个元素的排列可以按元素异同分成若干类，每一类中恰有个元素，于是类数恰为。4.组合数有两个重要关系：（1）；（2）类型一：分类记数原理1．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）A.5B.6C.7D.8举一反三：【变式1】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?【变式2】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?【变式3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。【变式4】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?类型二：分步记数原理2．（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？解析：（1）完成这件事分三步：第一步确定第一项冠军的得主，可能是这四名运动员中的任一个，则有4种不同结果；第二步确定第二项冠军的得主，也可能是这四名运动员中的任一个，也有4种不同结果；第三步确定第三项冠军得主，也有4种不同结果.则共有4×4×4=64种不同结果.（2）完成这件事情分四步:第一步让第一名运动员报一项比赛，他可以选择三项比赛中的任一种，则有3种不同的报名方法；第二步让第二名运动填报，也有3种不同方法；第三步，第四步分别让第3，第4名运动员报，结果都一样.则共有3×3×3×3=81种不同结果.总结升华：弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.举一反三：【变式1】从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）【答案】18，6；一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.若二次函数为偶函数，则b=0同上共有3×2=6个.【变式2】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【答案】32；和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.类型三：解排列（组合）数形式的方程3．一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n≥1，n∈N*）个车站，因而增加了58种车票（起点站与终点站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?现在又有几个车站?解析：由题设，即.（1）若n=1，则2m－1+n=58，m=29；（2）若n=2，则2m－1+n=29，m=14；（3）若n=58，则2m－1+n=1，m=－28，不合题意，舍去.（4）若n=29，则2m－1+n=2，m=－13，不合题意，舍去；所以原有14个车站，现有16个车站；或者原有29个车站，现有30个车站.总结升华：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在去掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在去掉符号之前。举一反三：【变式1】解方程：（1）；（2）.类型四：排列组合常见问题及基本方法1．明确任务，分析是分类还是分步，是排列还是组合4．从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，求这样的不同等差数列有多少个。解析：设a，b，c成等差，则2b=a+c，可知b由a，c决定，又∵2b是偶数，∴a，c同奇或同偶，即从1，3，5，……，19或2，4，6，……，20这十个数中选出两个数进行排列，就可确定等差数列，因而不同等差数列有(个)5．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。举一反三：【变式1】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有____。(A)240(B)180(C)120(D)60【答案】分步解决：(一)从6双中选出一双同色的手套，有种方法；(二)从剩下的十只手套中任选一只，有种方法；(三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；(四)由于选取与顺序无关，因而(二)(三)中的选法重复一次；因而共【变式2】身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为。【答案】每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有。2．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑6．六人站成一排，求(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数解析：(1)先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。第一类：乙在排头，有种站法；第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法共种站法。(2)第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法；第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法；第三类：甲不在排尾，乙在排头，有种方法；第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法；共种。举一反三：【变式1】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？【答案】本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的次品有种可能；第二步：前四次有一件正品有种可能；第三步：前四次有种可能；∴共有种可能。3．捆绑与插空7．8人排成一队(1)甲乙必须相邻(2)甲乙不相邻(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻4．间接计数法8．从10人中选4人参加一个会议，其中甲、乙、丙三人中至少有1人参加的与会方法有多少种？解析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。（1）方法一：排除法从10人中任选4人参加会议的方法有种,其中甲、乙、丙都不参加会议的方法有种，故甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有（种）。方法二：分类法甲、乙、丙三人中至少有1人参加会议可分为三类：三人中只有1人参加会议，只有二人参加会议、三人都参加会议三类情况，而每一类中情况还需分步，先取三人中参加会议的人，再从其余7人中取参加会议的人选，因此甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有（种）。举一反三：【变式1】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少四面体？【答案】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，∴5．挡板法9．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？解析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共举一反三：【变式】15个相同的球，放入标有1，2，3，4的四个盒子内，求分别满足下列条件的放法种数：(1)每个盒子放入的球数不小于盒子的号码；(2)15个球随意放入四个盒，使得每个盒子不空。【答案】(1)先在2号盒子放入1球，在3号盒子放入2球，在4号盒子放入3球，共用去6个球，还剩下9个球，相同的球，可以用挡板法，在8个空中插入3块挡板，共有；(2)6．顺序问题10．六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法？如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢？解析：（1）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有；（2）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序位站，由于三人所占位置相同的情况下，共有种变化，∴举一反三：【变式1】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法？【答案】首先不考虑男生的站位要求，共种，男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，由于五男生所占位置相同的情况下，共有变化，；若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。【变式2】有4名男生、5名女生，全体排成一行，甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定，有多少种不同的排法?【答案】方法一：等机会法9人共有A种排法，其中甲、乙、丙三人有A种排法，因而在A种排法中每A种对应一种符合条件的排法，故共有=60480种排法.方法二：C·A=60480种.7．排列组合综合应用11．从0，1，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数？解析：先选后排。另外还要考虑特殊元素0的选取。（1）两个选出的偶数含0，则有种；（2）两个选出的偶数字不含0，