第一章 逻辑代数基础-数制码制

第一章逻辑代数基础1.1概述1.2数制1.3码制与编码1.4逻辑代数1.5逻辑代数的基本公式和定理1.6逻辑函数及其表示方法1.7逻辑函数的化简方法第一章第一部分1.1概述1.2数制1.3码制与编码数字说明•数字是一套符号，可以表示数量或不同的逻辑状态/对象。•一套数字符号，加上明确的逻辑运算关系，构成了数学。•如果用数字符号数量有限，需要数制/进制扩大表示对象的数量。•在数字电路（硬件）中，数量运算：采用用二进制逻辑运算：采用布尔代数•十进制•二进制•进制之间的转换1.2数制•十六进制•八进制数字要表示的对象是无限的，而表示数字符号是有限的，同时生产生活中很多数字有往复循环的特性。各种不同的应用中使用不同进制：2，10，12，16，60什么是数制/进制？一、特点：1、十进制是以10为基数的计数体制。任何一位数可以而且只可以用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数码表示。2、进位规律是“逢十进一”。即9+1=10=1×101+0×100例如：式中，102、101是根据每一个数码所在的位置而定的，称之为“权”。3、在十进制中，各位的权都是10的幂，而每个权的系数只能是0～9这十个数码中的一个。十进制数二、十进制一般表达式:在数字电路中，计数的基本思想是要把电路的状态与数码一一对应起来。显然，采用十进制是十分不方便的。它需要十种电路状态，要想严格区分这十种状态是很困难的。一、定义与特点:二、二进制数的一般表达式为:1、任何一位数可以而且只可以用0和1表示。2、进位规律是：“逢二进一”。3、各位的权都是2的幂。二进制数例如：1+1=10=1×21+0×20二进制的定义:以2为基数的计数体制二进制数特点:1.位数太多，不符合人的习惯，不能在头脑中立即反映出数值的大小，一般要将其转换成十进制后，才能反映。2.MSB最高有效位，LSB最低有效位，计算机的字长三、二进制的优点：1、易于电路实现---每一位数只有两个值，可以用管子的导通或截止，灯泡的亮或灭、继电器触点的闭合或断开来表示。2、基本运算规则简单,运算操作方便。四、二进制的特点：例试将二进制数(01010110)B和(10011.101)B转换为十进制数。解：将每一位二进制数乘以位权然后相加便得相应的十进制数。(01010110)B=26+24+22+21=(86)D(10011.101)B=1×24+1×21+1×20+1×2-1+1×2-3=(19.625)D常用方法是“按权相加”。一、二进制数转换成十进制数：十～二进制之间的转换二、十进制数转换成二进制数：1.整数部分:用“辗转相除”法，将十进制数连续不断地除以2,直至商为零，所得余数由低位到高位排列，即为所求二进制数整数部分小数部分问题：如何从(19)D求出右边表达式中的系数？(19)D=(10011)B=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20例如:(63)10==(?)2(63)10=(111111)26321=b113153171=b21=b31=b41=b52222余1=b020MSBLSB若十进制数较大时，不必逐位去除2，可先算出2的幂与十进制对比，如：（261)10=(?)2∵28=256，261–256=5，(5)10=(101)2,∴(261)10=(100000101)2技巧(0.625)D=(0.101)B=1×2-1+0×2-2+1×2-32.十进制小数转换为二进制小数：问题：如何根据小数部分0.625求出等式右边的系数？十进制小数可表示为：等式两边依次乘以2,取整可分别得b-1、b-2…..直到乘积小数部分为0:例1.3.5将(0.706)D转换为二进制数，要求其误差不大于2-9。解：按式(1.3.5)所表达的方法，可得、……如下：0.706×2=1.412……1……b－10.412×2=0.824……0……b－20.824×2=1.648……1……b－30.648×2=1.296……1……b－40.296×2=0.592……0……b－50.592×2=1.184……1……b－60.184×2=0.368……0……b－70.368×2=0.736……0……b－80.736×2=1.472……1……b－9所以，(0.706)D=(0.101101001)B根据误差要求，至少保留小数点后9位二进制数MSBLSB一、八进制数特点：八进制和十六进制1、采用0,1,2,3,4,5,6,7八个数码表示任何一位数。2、进位规律是“逢八进一”。3、各位的权都是8的幂。例如(144)O=1×82+4×81+4×80=64+32+4=(100)D八进制:以8为基数的计数体制二、二进制数转换成八进制数：三、八进制数转换成二进制数：将每位八进制数展开成三位二进制数，排列顺序不变即可。•转换时，由小数点开始，整数部分自右向左，小数部分自左向右，三位一组，不够三位的添零补齐，则每三位二进制数表示一位八进制数。•因为八进制的基数8=23，所以，可将三位二进制数表示一位八进制数，即000～111表示0～7例(10110.011)B=(010110.011)B例(752.1)O==(26.3)O(111101010.001)B一、十六进制数特点：1、十六进制数采用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A、B、C、D、E、F十六个数码表示。2、进位规律是“逢十六进一”。3、各位的权都是16的幂。十六进制二、二进制数转换成十六进制数：三、十六进制数转换成二进制数：因为16进制的基数16=24，所以，可将四位二进制数表示一位16进制数，即0000～1111表示0-F。例(111100010101110)B=(0111100010101110)B将每位16进制数展开成四位二进制数，排列顺序不变即可。例(BEEF)H==(78AE)H(1011111011101111)B(1010-A,1011-B,1100-C,1101-D,1110-E,1111-F)八进制数和十六进制数之间转换采用间接转换法：先将八进制数或十六进制数转换为二进制数，再将二进制数转换为相应的进制数。如（75.4）8＝（111101.100）2＝(3D.8)16四、十六进制的优点十六进制在数字电路中，尤其在计算机中得到广泛的应用，因为：1、与二进制之间的转换容易；2、计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至1111B=15D；八进制可计至7777O=4095D；十进制可计至9999D；十六进制可计至FFFFH=65535D，即64K。其容量最大。3、计算机系统中，大量的寄存器、计数器等往往按四位一组排列，使十六进制的使用独具优越性。表1.3.1几种数制之间的关系对照表十进制数二进制数八进制数十六进制数0123456789100000000001000100001100100001010011000111010000100101010012345671011120123456789A十进制数二进制数八进制数十六进制数111213141516171819200101101100011010111001111100001000110010100111010013141516172021222324BCDEF10111213141.4二进制算术运算在数字电路中,0和1既可以表示逻辑状态,又可以表示数量大小,当表示数量时,两个二进制数可以进行算术运算。不带符号数的计算例：1001+0101=11101000-0101=0011技巧：减法时，可以把1000看成111+1带符号数的反码和补码符号位0代表正数，1代表负数符号位和真值组成机器数（带符号原码）例：X=-1011B，X原码为11011带符号数反码（1’scomplement）正数反码就是正数本身负数反码是数值位按位取反（符号位保持不变）反码再求反得到原码例：X=-1011B，X原码=11011，X反码=10100，X反码反码=11011带符号数补码（2’scomplement）正数补码就是正数本身负数补码是负数原码的反码再加1补码再求补得到原码例：X=-1011B，X原码=11011，X反码=10100，X补码=10101，X补码补码=11011为什么要设计反码和补码？对于计算机，需要把运算电路设计得尽量简洁，为此需要做到：1.符号位参与运算，这样就不需要符号识别电路2.用加法电路计算减法设计了补码（反码是一个过渡码）达到上述要求。1.3码制与编码2nN•建立二进制代码与十进制数值、字母、符号等的一一对应的关系称为编码。•若需编码的信息有N项，则需用的二进制数码的位数n应满足如下关系：•代码不表示数量的大小，只是不同事或物的代号，为了便于记忆和处理，在编制代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。•用二进制数码对事物(文字符号或信息)进行表示，称为二进制代码。•数字系统中的信息分两类：数值码代码(编码表示数码0-9)(编码表示不同对象)0~9十个数字的编码—BCD码•通常用四位0或1表示一位十进制数，只取十个状态。•有多种可能，便产生了多种编码，其中使用最多的是8421码。•四位0或1可产生16个数0000～1111，而表示十进制数只需要十个代码，其余六个成为伪码。b3b2b1b023222120代码对应的十进制数自然二进制码BCD8421码2421码余3码00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456789101112131415012345678901234567890123456789表1.4.1几种常见的码十进制数有权码8421码2421码5421码无权码000000000000000110010100010001000101000110200100010001001010111300110011001101100101401000100010001110100501011011100010001100601101100100110011101701111101101010101111810001110101110111110910011111110011001010余3码余3循环码例15=1111（二进制数码）15=00010101（8421码）15=00011011（2421码）15=01001000（余3码）二进制数与BCD码的区别格雷码在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码（GrayCode），最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”。格雷码有很多种，一般提到格雷码默认是指“4位典型格雷码”格雷码应用实例转角测量仪器ASCII美国标准信息交换代码是由美国国家标准学会(AmericanNationalStandardInstitute,ANSI)制定的，标准的单字节字符编码方案，用于表示基于文本的数据，每个编码7bit，共128个。