8.3正态分布曲线公开课

8.3正态分布曲线莆田二中高二1班上节回顾：1．方差的概念与数学意义：如果，其概率，那么，,,,,,321nxxxxiipxP)(nnpExpExpExD2222121)()()(2．随机变量ξ的方差性质：DabaD2)(3.若ξ~B(n,p)，则,npqD.1pq这里)(npE4.超几何分布的方差()(1)1MMNnDXnNNN)1(ppDXX服从两点分布，则若一、引入正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535产品尺寸（mm)频率组距复习样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品尺寸(mm)总体密度曲线复习产品尺寸(mm)总体密度曲线导入如数据测量的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：22()21()2xfxe),(x1、正态曲线的定义：函数式中的实数μ、σ(σ0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称f(x)的图象称为正态曲线一测量1cm圆的周长为例p78cdab平均数XYX落在区间(a,b]的概率为:()()baPaXbfxdx二、正态分布的定义:如果对于任何实数ab,随机变量X满足:()()()()baPaXbfxdxFbFa则称为X的正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（μ，σ2）.其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N（μ，σ2）在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，测量结果；在生物学中，同一群体的某一特征；……；在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态总体的函数表示式当μ=0，σ=1时222)(21)(xexf),(x2221)(xexf标准正态总体的函数表示式),(x012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线三、正态曲线的性质012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征22()21(),(,)2xfxex012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（4）曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)1σ2π22()21(),(,)2xfxex方差相等、均数不等的正态分布图示312σ=0.5μ=-1μ=0μ=1若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数；均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2μ=0若固定,越大时,曲线越扁平；越小时,曲线越尖陡,故称为形状参数。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中.（5）当xμ时,曲线上升;当xμ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.22()21()2xfxe四．正态分布与标准正态分布(1)如果随机变量X的概率密度函数为:φ(x)＝12π22xe(－∞x＋∞)，则称X服从标准正态分布，即X～N(0,1)．其分布函数记为()x(2)正态分布的分布函数若X～N(0,1)，则X的分布函数通常用Φ(x)表示，且有Φ(x)＝P(X≤x)．对于一切x≥0，Φ(x)的值可在标准正态分布表中查到；对于x0的Φ(x)值，可用Φ(x)＝1－Φ(－x)求出．若X～N(μ，σ2)，则X的分布函数通常用F(x)表示，且有P(X≤x)＝F(x)＝Φ(x－μσ)．(3)若X～N(0,1)，则P(aX≤b)＝Φ(b)－Φ(a)，即通过查标准正态分布表中x＝a，x＝b时的Φ(x)值，可计算概率P(aX≤b)．2．标准正态分布与一般正态分布的关系(1)若X～N(μ，σ2)，则Y＝X－μσ～N(0,1)．(2)若X～N(μ，σ2)，则P(aX≤b)＝F(b)－F(a)＝Φ(b－μσ)－Φ(a－μσ)，即通过查标准正态分布表中x＝a－μσ，x＝b－μσ的Φ(x)值，可计算服从N(μ，σ2)的随机变量X取值在a与b之间的概率．例1、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.22()21(),,(0)2xfxe都是实数222()2xfxe2(1)41()22xfxe221()2xfxeB例2、标准正态总体的函数为（1）证明f(x)是偶函数；（2）求f(x)的最大值；（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。221(),(,).2xfxex练习：1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于，求该正态分布的概率密度函数的解析式。1422025301510xy535122、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（）A.曲线b仍然是正态曲线；B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。D正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,+)＝S(-,-X)正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1-x2x2x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)五、特殊区间的概率-a+ax=μ若X~N,则对于任何实数a0,概率为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。2(,)()()aaPaaxdx≤(,]aa()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX特别地有我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。2,23,3由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX当3a时正态总体的取值几乎总取值于区间(3,3)之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运用中就只考虑这个区间,称为3原则.利用标准正态分布曲线求概率在标准正态分布中，正态密度曲线关于y轴对称(偶函数)且Φ(a)＋Φ(－a)＝1.例1在标准正态分布中，φ(x)＝12πe－x22.(1)求Φ(0)；(2)若Φ(2)≈0.977，求P(x＞2)；(3)若Φ(1)≈0.841，求P(－1＜x＜1)．【思路点拨】Φ(a)＝P(x＜a)，可利用φ(x)关于y轴的对称性求面积．【解】(1)∵Φ(a)＋Φ(－a)＝1，令a＝0，∴2Φ(0)＝1，∴Φ(0)＝12.(2)∵Φ(2)＋Φ(－2)＝1，∴Φ(－2)＝1－Φ(2)＝1－0.977＝0.023，P(x＞2)＝P(x＜－2)＝Φ(－2)＝0.023.(3)Φ(1)＋Φ(－1)＝1，∴Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841＝0.159，P(x＜－1)＝P(x＞1)＝Φ(－1)＝0.159.∴P(－1＜x＜1)＝1－P(x＜－1)－P(x＞1)＝1－2Φ(－1)＝1－2×0.159＝0.682.【思维总结】Φ(a)表示概率P(x＜a)，故P(x1＜x＜x2)＝Φ(x2)－Φ(x1)．失误防范1．根据标准正态分布下的某范围的概率，充分利用图形的对称性．2．P(b＜x＜a)表示由直线x＝a，x＝b及φ(x)与x轴围成的封闭图形的面积．小结3．标准正态分布由μ，σ唯一确定．4．P(x＜a)＝1－P(x＞a)．练习在本例中，求P(1＜x＜2)．解：Φ(2)＝P(x＜2)≈0.977，Φ(1)＝P(x＜1)≈0.841，∴P(1＜x＜2)＝Φ(2)－Φ(1)≈0.977－0.841＝0.136.用正态分布研究实际问题例2从某地随机抽取100名一年级男大学生，测得平均身高为166.2cm，标准差为5.3cm，现欲估计该地身高界于低于160cm，身高高于180cm，以及身高在165cm~175cm范围内的一年级男大学生的比例和人数。查标准正态分布表得：Φ（u1）＝Φ（－0.02）＝0.4920Φ（u2）＝Φ（1.66）＝0.04851－[Φ（u2）+Φ（u1）]＝0.459502.03.52.1661651u66.13.52.1661752u例3.某班有47名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲在80分到90分之间有多少人?例4．公共汽车的门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在１%以下设计．如果某地成年男子的身高ζ~N（175,62)(单位：cm),车门应设计成多高？1.标准正态分布2.一般正态分布X~N(0，1)2Y~,N2）密度函数：2221)(xex1）记为22()21()2xfxexyx0xy0fx,dxxxx)()(正态分布表)(1)(xx3）图像小结Y~(0,1).N4）概率计算公式：()PaXb)()(ab()PXb()PXa()PXk)(b)(1a1)(2k()PaXb)()(ab()PXb()PXa()PXk2Y~,N1,0~NX)(b)(1a)()(kk小结实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量只取区间（μ-3σ，μ+3σ）上的概率，否则就不正常，这就是3σ原则补充、准则32P{=0.6826P{22=0.9545P{33=0.9973~(,)}}}NX的取值几乎全落在区间（μ-3σ，μ+3σ）