第十二章-轴对称证明题

第十二章轴对称1．已知，如图1－11，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，求∠OED的度数．2．已知：如图2－3，线段AB．求作：线段AB的垂直平分线MN．作法：图2－33．已知：如图2－4，∠ABC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．作法：图2－44．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．图2－55．如图2－6，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么点E、F是否关于AD对称？若对称，请说明理由．图2－6综合、运用、诊断6．已知：如图3－7，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点，若A'B＝a.（1）求AP＋PB；（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM＋MB＞AP＋PB．7．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．（1）如图3－8，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；作（3）如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．图3－108．（1）如图3－11，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；图3－11（2）如图3－12，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．图3－129．（1）已知：如图3－13，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；图3－13（2）已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．图3－1410．已知：如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．图6－511．已知：如图5－2，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．求证：BD＝CE．图5－212．已知：如图5－3，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．图5－313．已知：如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．图5－4拓展、探究、思考14．已知：如图5－5，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：（1）DE＝DF；（2）ΔDEF为等腰直角三角形．图5－515．在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．（1）作出M点和N点．（2）求出M点和N点的坐标．图5－616．已知：如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．求证：AE＝AF.图6－617．已知：如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.求证：CE＝CF．图6－718．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．图6－819．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？并在图6－9中画出C点的位置．图6－920．如图6－10，对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．图6－1021．已知：如图7－8，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．图7－822．已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．图7－923．如图7－10，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？（2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现？请证明你的猜想．（3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系？图7－1024．已知：如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．（1）求证：BC＝AE＋BE；（2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试证明之．25．已知：如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．（1）求证：AD＝CE；（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．图8－426．如图8－5，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）求证：AF＝BD．图8－527．已知：如图8－6，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长______．图8－628．（1）如图8－7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；图8－7（2）如图8－8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．图8－829．已知：如图8－9，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE．求证：CE＝DE.图8－930．已知：如图8－10，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；图8－10（2）求出（1）中PC＋PD的最小值．31.如图,△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点O,(1)求证:PA=PB=PC.(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上?由此你还能得出什么结论?32、.如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE.33、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB＝OC.（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.34．如图，P在AOB内；点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，且与AO、BO相交点E、F，若PEF的周长为15，求MN的长.NPOMFEBA35．如图（5）所示，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交AB于E，交BC于D，∠1=21∠2，求∠B的度数。36．等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为26cm，则底边BC的长是多少？ABCDE37．如图，ABC中，AB=AC，BO，CO分别为ABC，ACB的平分线，交点为O，过O作，E，F平行于BC交AB，AC于F，E，探索BF+CE与FE的关系，说明理由.OFECBA38．如图，在ABC中，ADBC于D，点M，N分别在BC所在的直线上，且BM=CN．（1）AB=AC，试判断AMN的形状，并说明理由（2）若AM=AN，则ABC=ACB成立吗？为什么？NMDCBA39.如图，△ABC中，∠BAC=1100，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，求∠DAF.16、如图，ABC中，AB=AC，ADBC，DE//AC，试说明BDE和AED都是等腰三角形40、已知：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠C的度数。41、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角度数。（9分）BADC42、如图：B、D、E、C四点共线，BD=CE，AD=AE，求证：AB=AC（9分）43、求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等。（9分）44、在△ABC中，AB=AC,∠ABD=∠ACD,试确定AD与BC的关系，并说明理由。（8分）45、在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB，AC的垂直平分线分别交AB于E，BC于M，交AC于F，BC于N，求证：BM=MN=NC（9分）46、如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于H，求证：AH=2BD(7分)47、如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，OM与OB是两坐标轴夹角的三等分线，点E是OM上一点，EC⊥X轴于C点，ED⊥OB于D点，OD=8，OE=10（1）求证：∠ECD=∠EDC（3′）（2）求证：OC=OD（4′）（3）求点E的坐标（4′）（4）试判断OE与线段CD的位置关系，并说明理由。（