《信号与系统》讲义教案第4章-离散时间信号与系统的频域分析

第4章离散时间信号与系统的频域分析4.0引言本章讨论离散时间信号与系统的频域分析,讨论的基本思路和方法与第3章完全对应,许多结论也很类似。通过对离散时间傅立叶级数和变换的讨论，将揭示离散时间信号时域与频域特性的关系.不仅会看到许多性质与特性在连续时间信号与系统分析中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如离散时间傅立叶级数和变换总是以2π为周期的。通过卷积的讨论,对LTI系统建立频域分析的方法。同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。与连续时间LTI系统一样,由线性常系数差分方程描述的LTI系统可以很方便的由方程得到系统的频率响应函数jHe，实现系统的频域分析,其基本过程及涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似.4.1离散时间LTI系统对复指数信号的响应在第3章开始，我们已经介绍过，线性时不变系统对复指数信号的响应。这里，我们再来讨论一下。离散LTI系统对复指数信号nz的响应：nzhnyn由时域分析方法：nknknkkynzhkzhkzHzz（4.1）nnHzhnz（4.2）可见LTI系统对复指数信号的响应就是输入的复指数信号乘以由系统产生的加权系数，其响应是很容易求得的。若将离散时域信号表征为nz的线性组合的话，则可以方便地求得系统对时域信号的响应。当Z取模为1的复指数信号je时，就是我们下面要讨论的信号与系统的频域分析。4.2离散时间周期信号的傅立叶级数表示4.2.1离散时间傅里叶级数前面我们已讨论过成谐波关系的复指数信号集:2jknNkne该信号集中每一个信号都以N为周期，且该集合中只有N个信号是彼此独立的。将这N个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以N为周期的序列。即：2jknNkkNxnae（4.3）其中k为N个相连的整数。这一表达式就称为离散时间傅里叶级数（DFS），其中ka也称为周期信号xn的频谱。4.2.2傅里叶级数的系数由2jknNkkNxnae两边同乘以2jrnNe，得22jrnjkrnNNkkNxneae显然2jrnNxne仍是以N为周期的，两边对n在一个周期内求和：222jrnjkrnjkrnNNNkknNnNnNkNnNxneaeae而所以2jrnNrnNxneNa即21jrnNrnNaxneN或21jknNknNaxneN(4.4)显然上式满足kNkaa，即ka也是以N为周期的，或者说ka中只有N个是独立的。对实信号同样有：，，，，。4.2.3离散时间周期性方波序列的频谱图4.1离散时间周期方波序列由傅立叶级数系数的公式式(4.4)可得：(4.5)(4.6)显然ka的包络具有sinsinxx的形状。见图4.2：图4..2对应不同1N和N值时的傅立叶级数系数当1N不变、N时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。当1N改变、N不变时，由ka的包络具有sinsinxx形状，而121N，可知其包络形状一定发生变化。当1N时，包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，在区间考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。4.3离散时间非周期信号的傅立叶变换4.3.1从傅里叶级数到傅立叶变换让我们先来观察周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与40时，其频谱的变化情况如图4.3所示。在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：当信号周期N增大时,频谱的包络形状不变,幅度减小,而频谱的谱线变密。当N时,有020N,而从时域看,当周期信号的周期N时,就变成了一个非周期的有限长序列。可以预见，对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该是一个连续的频谱。图4.3周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与40对周期信号~xn由DFS有2~jknNkkNxnae，2~1jknNknNaxneN即22~21NjknNknNaxneN当N时，2kN，令limjkNNaXe有jjnnXexne(4.7)显然，jXe对是以2为周期的。将其与ka表达式比较有：21jkkNaXeN(4.8)212jjnxnXeed00~1jkjknkNxnXeeN，02N00012jkjknkNXee于是：当N时，~xnxn，0k，0d，。当k在一个周期范围内变化时，0k在2范围内变化，所以积分区间是2。表明：212jjnxnXeed(4.9)离散时间序列可以分解为频率在2区间上连续分布的、幅度为12jXed的复指数分量的线性组合。结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为：212jjnxnXeed(4.10)jjnnXexne(4.11)4.3.2常用离散时间非周期信号的傅立叶变换1、,1nxnauna011jnjnjnXeaeae(4.12)通常jXe是复函数。jXe的模和相位：2112cosjXeaa（4.13）1sin1cosjaXetga（4.14）信号的幅频特性如图4.4所示：图4.4,1nxnauna，a0和a0的幅频特性由图可以得到:01a时,信号表现为低通特性（LPF）,xn为单调指数衰减;10a时,信号表现为高通特性(HPF),xn为摆动指数衰减。2、,1nxnaa1nnxnaunaun10jnjnnjnnnXeaeae（4.15）可以得出结论:实偶序列实偶函数3、矩形脉冲:111,0,nNxnnN1111sin2sin2NjjnnNNXee（4.16）当12N时,有同样的结论:实偶序列实偶函数两点比较:显然有：(1)与对应的周期信号比较21jkkNaXeN关系成立。可见：周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱上的采样；(2)与对应的连续时间信号比较，如图4.5和4.6所示:图4.5离散时间矩形脉冲N1=2时域和频域波形图4.6连续时间矩形脉冲时域和频域波形可见：连续非周期信号的频谱是非周期性的，而离散非周期信号的频谱是周期的4、xnn1jjnnXexne（4.17）如图4.7图4.7单位脉冲时域和频域5、频域均匀冲激串2jkXek1122jnxned122jkxnXek（4.18）6、1,0,jWXeWsinWnxnn（4.19）如图4.8所示：图4.8离散时间钟形信号时域和频域4.4离散时间傅立叶级数和傅里叶变换的收敛离散时间傅立叶级数是一个有限项的级数，确定ka的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。而对于傅立叶变换，当序列是无限长序列时,由于jXe表达式是无穷项级数,当然会存在收敛问题.收敛条件有两组：nxn，则jXe存在，且级数一致收敛于jXe；2nxn，则级数以均方误差最小准则收敛于jXe。可以得到以下结论:当以部分复指数分量之和近似信号时,也会出现起伏和振荡;但随着W,~xn的振荡频率变高,起伏幅度变小。当W时,振荡与起伏将完全消失,不会出现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。4.5周期信号的傅立叶变换对连续时间信号,有002jte由此推断对离散时间信号或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以2为周期的,因此,频域的冲激应该是周期性的冲激串:对其作反变换有:可见：（4.20）由离散时间傅立叶级数，有0~02,jknkkNxnaeN（4.21）因此,周期信号~xn可表示为：~022jkkNlxnXeal（4.22）222jklkNXeaklN22222kkkNkNakakNN224kkNakN11002222NNkkkkakakNNN10222NkkakNN12102222NNkkkkNakakNN31222NkkNakN22kkakN（4.23）从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全一致的。例4.1分析信号0001cos2jnjnxnnee的频谱。由离散时间函数周期性可知，xn不一定是周期的，当02kN时，xn才是周期的。此时，其傅立叶变换为00()[(2)(2)]jkXekk（4.24）xn的频谱如图4.9所示：图4.9x(n)=cosw0n的频谱波形例4.2kxnnkN————均匀脉冲串0010111NjknjknknNnaxneneNNN（4.25）22jkXekNN（4.26）均匀脉冲串的时域和频域如图4.10所示比较：与连续时间信号对应的情况是一致的。图4.10均匀脉冲串时和频域4.6傅立叶级数的性质离散时间傅立叶级数的很多性质跟连续时间傅立叶级数相似，下面简单说明一下离散时间傅立叶级数较特殊的几个性质。1、相乘若xn、yn都是以N为周期的信号，且：（周期卷积）（4.27）2、差分（4.28）3、Passival定理（4.29）等式左边是xn在一个周期内的平均功率，右边是xn的各次谐波所拥有的平均功率之和。上式表明：一个周期信号的平均功率等于它的所有的谐波分量的平均功率之和。4.7傅立叶变换的性质离散时间傅立叶变换也有很多与连续时间傅立叶变换类似的性质,当然也有某些明显的差别。通过对离散时间傅立叶变换性质的讨论,目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。1、周期性若jxnXe则2jjXeXe（4.30）注意:这一点是与连续时间傅立叶变换不同的。2、线性1212jjaxnbxnaXebXe（4.31）3、时移与频移、若jxnXe则00jnjxnnXee（4.32a）00jjnxneXe（4.32b）4、时间反转、若jxnXe则jxnXe（4.33）5、共轭对称性若jxnXe则**jxnXe（4.34）由此可进一步得到以下结论:(1)若xn是实信号,则*xnxn所以*jjXeXe，即*jjXeXe，（4.35）因此：（4.36）(2)若xn是实偶信号,则xnxn，*xnxn,jxnXe。于是有：