常见求积分方法总结

YibinUniversity毕业论文（设计）题目常见求积分方法总结系别数学学院专业数学与应用数学学生姓名罗大宏学号120204036年级12级4班指导教师刘信东职称xxx2016年3月10日常见求积分方法总结作者：罗大宏单位：宜宾学院数学学院12级4班指导教师：刘兴东摘要:微积分是数学分析中的一个重要基础学科，并且微积分中的积分运算是求导的逆运算，它是连接微分学和积分学的枢纽。因此怎样求积分就显得非常重要，本文讲解了常见求积分的几种方法：直接积分法、分部积分法、换元积分法和有理函数积分的待定系数法，掌握了这些方法，将对我们迅速求解积分来说非常重要。关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法引言数学分析是大学数学与应用数学专业必修专业课，而微积分是数学分析的重点，又不定积分是积分学的基础，会影响到后面学习其它的积分，特别是定积分的求解。它的目的是形成一定的思维方法和解决问题的能力。并且不定积分的求解要比导数的求解复杂很多，运用积分的基本公式只能解决一些容易的积分，更多的不定积分要因函数的差别而采用相应的方法。另外，如果我们掌握了求不定积分的方法，那么求解定积分就变得容易。本文我们就对常见求积分方法进行总结，以便帮助我们解决一些实际问题。1.积分的概念1.1、不定积分若xF是函数xf在区间I上的一个原函数，则xf在I的所有原函数CxF（C为任意常数）称为xf在区间I上的不定积分。记作CxFdxxf。其中称为积分号，函数xf称为被积函数，x称为积分变量，dxxf称为被积表达式，C称为积分常数。另外，求已知函数不定积分的过程就称作对这个函数进行积分。1.2、定积分设函数xf在区间ba,上有定义，在ba,内任意插入1n个分点：,,...,,,1321xxxxn,,a令0xbxn,...1210bxxxxxann把区间ba,分为n个小区间[xx10,],[xx21,]，...，[xxkk,1],...,[xxnn,1],各个小区间的长度依次为xxx011,xxx122,...,,1xxxnnn在每个小区间[xxii,1]上任取一点ixxiii,1,作乘积xfiini,...,2,1，并作和式.1xfSiniin记,,...,,max21xxxn当0时，即n无限增大时，Sn的极限如果存在并趋于I，且I与ba,的分法及i的取法无关，则称此极限I为函数xf在区间ba,上的定积分，记作Ixfdxxfiniiba10lim.其中符号叫做积分号，xf叫做被积函数，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，ba,叫做积分区间．1.3定积分与不定积分的联系定积分的本质是将函数的图象在平面直角坐标系上用与y轴平行的的直线和x轴将它分割成很多个矩形。接着再把某个区间ba,上的矩形的面积累加起来，所形成的就是这个函数的图象在区间ba,的面积。而不定积分的本质是求一个函数的原函数，它们看起来没有联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？这主要是由于一个重要理论：牛顿-莱布尼兹公式，让它可以计算积分，它的内容是：若函数xf在区间ba,连续，且xF是xf的原函数，即xfxF则.aFbFdxxfba2.1求不定积分的方法2.1.1直接积分法直接积分法就是通过积分的基础性质和基本积分公式求解不定积分的方法。该方法是求解不定积分的基本方法，是其它积分方法的根本，应熟练地掌握基本积分公式。在记忆基本积分公式时，一定要把公式的两边一起记，这样就清楚被积函数变形到怎样的式子简便。基本积分公式：1为常数）(kkCkxdx2)1(111aCdxxadxxaa3dxx1Cxln4Caadxaxxln11a,0a5Cedxexx6Cxxdxcossin7Cxxdxsincos8Cxxdxtansec29Cxdxxcotcsc210Cxxdxxsectansec11Cxxdxxcsccotcsc12CxCxdxx12arccosarcsin1113CxarcCxdxx12cotarctan11例1求dxxx)2)(1(2解dxxx)2)(1(2dxxxx)22(21225dxdxxdxxdxx12221225.232327223327Cxxxx例2求dxexx3解dxexx3dxex)3(3ln1e)3(ex+CCexx3ln13例3求dxxx24113dxxx24113dxxx2414)1(3dxxx22114)1(3Cxxxarctan433例4求dxxx2cos2sin122dxxx2cos2sin122dxxsin4112Cxxdxcot4csc42例5求xdxtan2xdxtan2Cxxdxxtan)1sec(2由此可得，熟悉基本积分公式是直接积分法的根本。但是，利用积分公式和性质，只能求一些简单的积分，对于比较复杂的积分，需要设法把它变形为能利用基本积分公式的形式来求解积分。2.1.2、换元积分法求不定积分换元积分法是对积分变量进行适当变换的方法，这是与复合函数微分法相对应的积分方法。不定积分的换元法可分为两类：第一换元法，也叫凑微分法和第二换元法。设uF是uf的一个原函数，即ufuF.若xgu可导，由复合函数的微分法则，有)(xgF)()(xguFuf)(xg=)(xgfxg,故，,)()()(CxgFdxxgxgf又，),(,)()(xguCuFduuf故dxxgxgf)()(duuf)(如果右边的积分容易求出，则左边的积分就可以通过适当的变量代换uxg化为右边的形式来计算，也就是第一换元法。如果左边的积分容易求出，则右边的积分就能通过适当的变量代换xgu化为左边的形式来计算，也就是第二换元法。下面我们来分别介绍这两类换元方法。1、第一换元法（凑微分法）设xgu具有连续导数，uF是uf的一个原函数，即CuFduuf则CxgFdxxgxgf为了使用方便，第一换元法能够写成简单实用的形式CxgFCuFduufxdgxgdxxgxgf)(（1）只有一个因式的被积函数，主要看被积函数与积分基本公式中的哪个式子的被积函数相似，其本质就是利用积分基本公式。接着再与积分的基本公式的相似形式进行凑微分，凑微分的实质就是利用积分基本公式和性质求积分。（2）有两个因式的被积函数，先由其中一个因式找到与其相似的积分基本公式，再将剩下的一个因式与dx进行凑微分，再由积分基本公式求出结果。例1求dxxx222解dxxx222221222222xdxdxxx令ux22，得CxCxCuududxxx2ln2lnln22222例2求xdx2cos解xdx2cosxxddxxx22cos21)2(2cos21令ux2,得CxCuuduxdx2sin21sin21cos212cos例3求xdxxsectan23解xdxxsectan23xdxdxxxtantantantan33令uxtan,得CxCuduuxdxxtan414sectan44323例4求dxxa2210a解dxxa221axdaxdxaxa221111Caxarcsin例5求xdxtan解xdxtanCxxdxdxxxcoslncoscos1cossin例6求xdxcos5解xdxcos5xdxxdxxsinsin1coscos224xdxxsinsinsin2142Cxxxsin51sin32sin532、第二换元法设函数)(tgx单调、可导，且,0tgtgtgtGf是的一个原函数，即,CtGdttgtgf则CxgGdxxf1其中tgxgtx是1的反函数第二换元法主要分为以下三大类：1、有理化法2、三角变换法3、倒代换法1有理化法：若被积函数中含有因子或,Nnbaxn同时含有两个根式Nnmxmn,与x，为了能够去掉根号，我们作变换nbaxt，即abtxn，或pxt，即txp，p为m与n的最小公倍数，使化简后的积分式子能够直接积分或者使用简单的变形凑微分后可直接用积分基本公式。例1求dxxx12解令tx12，则1212tx,故dttttdtttdxxx2422112112Ctt3561101Cxx2325126112101例2求32xxdx解令06ttx，于是dtttttdttxxdx166243532dttt1116Cttt1ln6632Cxxx6631ln6632三角变换法：被积函数分别含有根式xa22，xa22，022aax时为了去掉根号，相应的分别使用弦换法)cos,sin(taxtax、割换法taxtaxcsc,sec，使化简后的积分能够直接使用基本积分公式。例1求dxxa220a解令22sinttax,则tdtadxcos于是