第五章多元函数微分学

第五章多元函数微分学知识点拔5.1多元函数的概念一、二元函数的概念1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量yx,和z，如果对于变量yx,在某一范围D内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z与它对应，则称变量z是变量yx,的二元函数，记作：),(yxfz或),(yxzz，其中yx,称为自变量，z称为因变量或称为yx,的二元函数，变量yx,取值范围D称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义二元函数),(yxfz在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限1、二元函数极限的定义设二元函数),(yxfz在点),(000yxP的某去心邻域内有定义，如果动点),(yxP在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000yxP时，函数),(yxf总是无限地趋于一个常数A，则称A是函数),(yxfz在),(yxP趋于),(000yxP时的极限（也称二重极限），记作AyxfyyXx),(lim00或Ayxfyxyx),(lim),(),(00，若记点),(yxP与点),(000yxP之间的距离为20200)()(||yyxxPP，则有Ayxf),(lim0.注释：（1）极限的几何意义：当),(yxP在),(000yxP附近的某个范围内变化时，函数值),(yxf与常数A的距离恒小于任意给定的正数；（2）二元函数极限存在是指：动点P必须以任意方式趋于点0P时，),(yxf都无限趋于常数A，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P沿过0P的无穷多条路径趋于0P时极限都等于A，也不能说明0PP时，Ayxf),(.（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(yxP以两种不同的方式趋于点),(000yxP时，函数),(yxf分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(yxf在点),(000yxP处的极限不存在。如：242),(yxyxyxf，当动点沿无穷多条直线xky趋于点)0,0(o时极限都是0，但)0,0(oP时其二重极限不是0，因为当P沿曲线2xy趋于点)0,0(o时，21),(yxf.2、二重极限不存在的判定方法当点P沿两种不同的路径趋于定点0P时，极限存在但不相等或沿某条路径点P趋于0P点极限不存在时，则二重极限不存在.3、求二元函数极限的常用方法求二元函数极限（即二重极限）的方法有：（1）利用函数连续的定义及初等函数的连续性；（2）利用夹逼定理；（3）利用有界函数与无穷小量乘积的性质；（4）利用变量替换.例1求下限极限（1）2/322222200)()cos(1)2(limyxyxyxyx；（2）22200limyxyxyx；（3）22144001limyxyxeyx；（4）)2(11lim10yxxyxyyx.解（1）令cosrx，sinry，则0x，0y时，022yxr，于是322202/322222200)cos1)(sin1(lim)()cos(1)2(limrrryxyxyxryx3222202)()sin1(limrrrr)sin1(lim21230rr，因2sin12，所以0)sin1(lim230rr，故原极限0.（2）由于xyxyxxyxyx21202222222，而021lim00xyx，所以根据夹逼定理，得0lim22200yxyxyx，故0lim22200yxyxyx.（3）因222144222144)()(12222yxeyxyxeyxyxyx，令tyx22，则0lim)(lim21022210022teyxettyxyx，而221)(442244222yxyxyxyx为有界函数，故原极限为0.（4）61)11)(2(1lim)2(11lim1010xyyxyxxyxyyxyx.例2证明极限不存在2222200)(limyxyxyxyx.证明由000lim)(lim2002222200xyxyxyxyxyx，即沿x轴趋于原点时，极限值为0；而1lim)(lim4220222220xxxyxyxyxxyxxyx，即沿直线xy趋于原点时，极限值为1，即沿不同方向趋于原点时，极限值不同，故2222200)(limyxyxyxyx不存在.4、二重极限与二次极限称),(limlim00yxfyyxx或),(limlim00yxfxxyy为二次极限.二重极限与二次极限是两个不同的概念，它们之间无任何关系，因此不能用求二次极限来求二重极限.三、二元函数的连续性定义定义设二元函数),(yxfz在点),(00yx的某个邻域内有定义，如果0),(),(limlim0000yxfyyxxfzyxyx或),(),(lim0000yxfyxfyyxx，则称),(yxf在点),(00yx处连续，否则，就称函数),(yxfz在点),(00yx处不连续或间断，称),(),(yxfyyxxfz是二元函数),(yxf在点),(00yx处的全增量，如果),(yxf在区域D上的每一点都连续，则称),(yxf在区域D上连续.例3讨论下列函数在分段点)0,0(处的连续性（1）)0,0(),(,0)0,0(),(,2),(22yxyxyxxyyxf（2）)0,0(),(,0)0,0(),(,)(),(2222yxyxyxyxxyyxf解（1）因为222220220122lim2limkkxkxkxyxxyxkxyx，当k取不同的值时，极限值不同，所以极限),(lim00yxfyx不存在，故函数在)0,0(处不连续.（2）由于22222222222221)(2)(0yxyxyxyxyxyxxy，而021lim2200yxyx，由夹逼定理，知0)(lim222200yxyxxyyx，所以)0,0(0)(lim),(lim22220000fyxyxxyyxfyxyx，故),(yxf在)0,0(处连续.注释：一切多元初等函数在其定义的区域内是连续的，于是多元初等函数在其定义区域内任一点的极限值等于函数在该点的函数值.5.2偏导数的概念一、偏导数的概念1、全增量和偏增量的概念设),(yxfz在点),(000yxP的某邻域内有定义，),(yxP为该邻域内的任一点，则称),(),(00yxfyxfz或),(),(0000yxfyyxxfz为二元函数),(yxfz在点),(000yxP处的全增量；而称),(),(0000yxfyxxfzx为二元函数),(yxfz在点),(000yxP处对x的偏增量；称),(),(0000yxfyyxfzy为二元函数),(yxfz在点),(000yxP处对y的偏增量.2、偏导数的概念设),(yxfz在点),(000yxP的某邻域内有定义，如果极限xzxx0limxyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称这个极限值为),(yxfz在点),(000yxP处对x的偏导数，记作：00yyxxxz，00yyxxxf，),(00yxzx，),(00yxfx；如果极限yyxfyyxfxzxyx),(),(limlim000000存在，则称这个极限值为),(yxfz在点),(000yxP处对y的偏导数，记作：00yyxxyz，00yyxxyf，),(00yxzy，),(00yxfy.注释①由偏导数的定义知，在函数),(yxfz的定义域的边界上是不可能存在偏导数的.②二元函数),(yxfz在点),(00yx对y的偏导数与一元函数),(0yxf在0y点的导数类似，二元函数),(yxfz在点),(00yx的对x的偏导数与一元函数),(0yxf在0x点的导数相似.③函数),(yxfz在点),(00yx的偏导数是否存在与函数),(yxfz在点),(00yx处是否存在极限、是否连续没有任何关系.④如果),(yxfz在区域D上的每一点),(yx都有偏导数，一般说它仍是yx,的二元函数，称为),(yxf的偏导函数，简称偏导数，记为),(,,);,(,,yxfyfyzyxfxfxzyx；⑤偏导数的等价定义式：),(),(lim),(0yxfyxfyxfx，),(),(lim),(0yxfyxfyxfy，其中表示奇函数；⑥当),(yxfx，),(yxfy存在时，偏导数还可以表示为：hbayhbxfyhaxfyxfx)(),(),(lim),(0，hbahbyxfhayxfyxfhy)(),(),(lim),(0，其中a，b为常数.例4设),(),(,),(),(),ln()(),(2222ooyxoooyxyxyxyxf求)0,0(xf，)0,0(yf.解oxxxxxxoofoxfoofoxoxoxx222lnlimlnlim),(),(lim),(，oyyyyyyoofyofoofoyoyoyy222lnlimlnlim),(),(lim),(.二、高阶偏导数1、高阶偏导数的概念若),(yxfz的偏导数),(),,(yxfyxfyx仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为),(yxfz的二阶偏导数，记作：xyzyxzyzxz222222,,,或),(yxfxx，),(yxfyy，),(yxfxy，),(yxfyx，其中xyzyxz22,称为二阶混合偏导数.类似地可以定义三阶、四阶及以上阶偏导数.注释：（1）求高阶偏导数只需要逐次求偏导数即可，但是在求高阶混合偏导数时应注意求导次序，只有在高阶偏导数连续时，混合偏导数才与求导次序无关.（2）若求函数),(yxf在具体点),(00yx处的偏导数，可不必求出该函数的偏导函数，然后代入点),(00yx，而先代入0xx或0yy，然后变为求一元函数的导数，此法一般来说更简单一些.2、二阶混合偏导数相等的充分条件定理如果二元函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数),(yxfxy，),(yxfyx都在点),(yx处连续，则有),(),(yxfyxfyxxy.注释：定理中的条件只为充分条件.例5求下列函数在指定点的偏导数（1）设)1sin(sin1cos)1()1cos(yxxyyxz，求)1,0(yz；（2）设xyyxz1arctan，求)0,0(22xz.解（1）由于1)1,0(),(ydyyodzyz，而)1sin(11),(yyyoz，2)1sin(1)1cos()1()1sin(11),(yyyydyyodz，故1)1,0(yz.（2）由于22)0,0(22)0,(dxxzddxzd，所以2222)1(2)0,(xxdxxzd，故0)0,0(22xZ.5.3全微分的概念一、全微分的定义设),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示成))()((22yxoyBxAz，其中BA,与yx,无关，但与yx,有关，则称),(yxfz在点),(yx处可微，而称yBxA为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记作dz，即BdyAdxdz.二、可微