百炼百胜北师大版九年级数学上册学案：第一章特殊平行四边形

第一章特殊平行四边形专题一菱形的性质、判定及应用1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=.2.顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形3.阅读材料：我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物.比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形.我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识.请解决以下问题:（1）如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”，写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外）并选出一个进行证明.专题二矩形的性质、判定及应用4.如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点.连接AC′、BC′，则图中共有等腰三角形的个数是（）A.1B.2C.3D.4ABDCABDC备用图1（写性质用）ABDC备用图2（写判定方法用）ABDC备用图3（证明判定方法用）ABDFCE5.如图，P是矩形ABCD下方一点，将△PCD绕P点顺时针旋转60°后恰好使D点与A点重合，得到△PEA，连接EB，△ABE是什么特殊三角形？请说明理由.6．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CF、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．7.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠ACB＝30，菱形OCED的面积为38，求AC的长．ABCDEODCBAPE8.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交B于Q.（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．专题三正方形的性质、判定及应用9.正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是.10.如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1B．2C．3D．411.长为1，宽为a的矩形纸片（121a），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为_____________．12.从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后，将其截成四个相同的第一次操作第二次操作等腰梯形﹙如图①﹚，可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚．现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚，已知∠A＝45°，AB＝6，AD＝4．若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形，然后按图①方式拼图，则得到的大正方形的面积为．【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定：（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：①说明是平行四边形+邻边相等;②说明是平行四边形+对角线垂直；③四条边相等。判定矩形：①说明是平行四边形+90°角；②说明是平行四边形+对角线相等；③有三个90°角。判定正方形:①说明是菱形+90°角；②说明是矩形+邻边相等;③两条对角线互相平分垂直且相等的四边形.2.几种特殊四边形的面积问题：（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=12ab．（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=2a；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=212a．（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=1()2abh．【温馨提示】（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再证明一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题.（2）在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的知识来解决．正方形的性质很多，要根据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷．【方法技巧】图②图①abA图③BCD面积法是解决有关平行四边形、矩形、菱形、正方形的推理与计算问题常用的方法，因此，熟悉它们的面积的计算方法是十分必要的．答案1.36【解析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O.∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线.∴EH=12BD=3.同理可得EF=GH=12AC=3，FG=12BD=3.∴EH=EF=GH=FG=3.∴四边形EFGH为菱形.∴EG⊥HF，且垂足为O.∴EG=2OE，FH=2OH.在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9.等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36.∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36.2.D【解析】如下图所示：顺次连接任意四边形ABCD各边的中点，根据三角形中位线定理，易得HG∥AC∥EF，且EFACHG21，则HG与EF平行且相等，所以四边形EFGH一定是平行四边形，又BDHE21，当且仅当AC＝BD时，HE＝HG，此时□EFGH为菱形，所以，只要四边形ABCD对角线AC，BD相等即可.3.解：以下任意两条性质即可：（1)只有一组对角相等(或者∠B=∠D∠A≠∠C)；（2）只有一条对角线平分对角；（3）两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分：（4）两组对边都不平行.以下任意两判定方法即可：（1）只有一条对角线平分对角的四边形是筝形；（2）两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形；（3）AC⊥BD，∠B=∠D，∠A≠∠C；（4）AB=AD,∠B=∠D，∠A≠∠C；（5）AC⊥BD,AB=AD.∠A≠∠C.判定方法1的证明：己知：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD和∠BCD，对角线BD不平分∠B和∠D.HGFEDCBA求证：四边形ABCD为筝形.证明：∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,AC=AC,∴△ABC≌△ADC.AB=AD、CB=CD.①易知AC⊥BD.又∵∠ABD≠∠CBD.∴∠BAC≠∠BCA,∴AB≠BC.②由①、②知四边形ABCD为筝形.其他方法请大家自己证明.4.C【解析】⑴将矩形ABCD对折，得折痕PQ，P、Q分别是AB、CD的中点，PQ∥AD∥BC，PQ垂直平分AB，所以AC′＝BC′，△ABC′是等腰三角形；⑵M是BC中点，折叠使C落在C’，MC＝MC’＝MB，∠CMF＝C′MF＝MFC′，故△MBC′、△MFC’都是等腰三角形.5.解：△ABE是等边三角形，理由如下：因为△PEA是将△PCD绕P点顺时针旋转60°后得到的，所以△PEA≌△PCD，且AE与DC所夹的锐角为60°，所以AE＝DC.又因为四边形ABCD是矩形，所以DC＝AB且DC∥AB，所以AE＝AB且∠EAB＝60°，所以△ABE是等边三角形.6.解：（1）证明：连接BD．∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，CD=CF．∵在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，∴四边形ABCD是等腰梯形．∴BD=AC．∴AC=BF，AB=CF．∴四边形ABFC是平行四边形．（2）∵DE2=BE·CE，EF=DE，∴EF2=BE·CE．∴EFCEBEEF．又∵DE⊥BC，∴∠CEF=∠FEB=90°．∴△CEF∽△FEB．∴∠CFE=∠FBE．∵∠FBE+∠BFE=90°，∴∠CFE+∠BFE=90°．即∠BFC=90°．EDCBA由（1）知四边形ABFC是平行四边形，∴证四边形ABFC是矩形．7.解：（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD，∴四边形OCED是菱形．（2）∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°—30°＝60°.又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形.过D作DF⊥OC于F，则CF＝21OC，设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x，在Rt△DFC中DFx3，由已知菱形OCED的面积为38得OCDF＝38，即3832xx，解得x＝2，∴AC＝42＝8.8.解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠PDO=∠QBO.又OB=OD，∠POD=∠QOB，∴△POD≌△QOB，∴OP=OQ.（2）PD=8-t∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°.∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.当四边形PBQD是菱形时，PQ⊥BD，∴∠POD=∠A.又∠ODP=∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴ODADPDBD，即58810t，解得74t,即运动时间为74秒时，四边形PBQD是菱形.9.15°或75°【解析】如下左图，当点E在正方形ABCD外时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，所以∠AED=1180150152；如下右图，当点E在正方形ABCD内时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°－60°=30°，所以∠AED=118030752.ABCDEO图8F10.C【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝12BC．∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2BC，AE＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE．如图(1)，把△ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∠C＝∠D＝∠F＝90°，则四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，则①成立．如图(2)，把△ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，则四边形BCME是菱形，且∠B＝60°为锐角，则③成立．如图(3)，移动△ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则②成立．因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则④不成立．11.53或43【解析】第一种情况，如左图，AB=BF=a，则CF=CH=1﹣a，DH=a﹣（1﹣a）=2a﹣1，四边形EGNM和四边形MNHD都是正方形，所以2DH=CF，即2（2a﹣1）=1﹣a，解得a=53．第二种情况，如右图，AB=BF=a，则CF=CH=1﹣a，四边形CFGH、四边形HGMN、四边形DEMN都是正方形，因此AB=3CH，即a=3（1﹣a），解得43a．12.11＋62【解析】如图，分割成四个小等腰梯形，则AE＝12AD＝2，过E作EM⊥AB于M,GN⊥AB于N，由∠A＝45°，EM⊥AB得AM＝2,同理可得HN＝2,又AM＋MN＋NH＋BH＝AB＝6，BH＝EG＝MN，∴AN＝NB＝3，AH＝3＋2,故大正方形的面积为（3＋2）2＝11＋62．