二次函数动点中求面积全解-(1)

分割面积法如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。解答：(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．解法1补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3“铅垂高，水平宽”面积法•如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）∴点P坐标为（－3/2，15/4）•若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。•解如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线L的解析式为：y＝x＋b．切线法=27/8三角函数法解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）,则F(x，x＋3)．•从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。1．(2019·遵义)如图，抛物线C1∶y＝x2－2x与抛物线C2∶y＝ax2＋bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．(1)求抛物线C2的解析式．解：令y＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，即点B(2，0)．∵抛物线C1∶y＝x2－2x与抛物线C2∶y＝ax2＋bx开口大小相同、方向相反，∴a＝－1.∵OA＝2OB，∴A(4，0)．将点A的坐标代入C2的解析式，得0＝－16＋4b，解得b＝4.∴抛物线C2的解析式为y＝－x2＋4x.(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA＋PC的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA＋PC的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：联立y＝x2－2x，y＝－x2＋4x，解得x＝0或3.∴C(3，3)．易求得C2的对称轴为x＝2.作点C关于C2对称轴的对称点C′(1，3)，连接AC′交C2的对称轴于点P，如解图1所示．此时PA＋PC的值最小，最小值为线段AC′的长度．∵A(4，0)，C′(1，3)，∴直线AC′的解析式为y＝－x＋4.当x＝2时，y＝2.∴P(2，2)．(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC．点M运动到什么位置时，△MOC的面积最大？并求出最大面积．(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC．点M运动到什么位置时，△MOC的面积最大？并求出最大面积．解：直线OC的解析式为y＝x.过点M作y轴的平行线交OC于点H，如解图2所示．设点M(m，－m2＋4m)，则点H(m，m)．∴S△MOC＝12MH·xC＝32(－m2＋4m－m)＝－32m2＋92m＝－32m－322＋278(0＜m＜3)．∵－32＜0，∴当m＝32时，△MOC的面积最大，最大值为278.2．(2019·西藏)已知：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与坐标轴分别交于点A，B(－3，0)，C(1，0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．备用图(1)求抛物线的解析式．解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3过点B(－3，0)，C(1，0)，∴9a－3b＋3＝0，a＋b＋3＝0，解得a＝－1，b＝－2.∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？图1(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？解：过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，如解图1所示．∵x＝0时，y＝－x2－2x＋3＝3，∴A(0，3)．∴直线AB的解析式为y＝x＋3.∵点P在线段AB上方的抛物线上，∴设P(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜0)．∴F(t，t＋3)．图1∴PF＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t.∴S△PAB＝S△PAF＋S△PBF＝12PF·OH＋12PF·BH＝12PF·OB＝32(－t2－3t)＝－32t＋322＋278.∵－32＜0，∴点P的坐标为－32，154时，△PAB的面积最大．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.