数学北师大版九年级上册第1章《特殊平行四边形》1.3正方形的性质与判定(1)同步训练

2019-2019学年数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定（1）同步训练一、选择题1.下列性质中正方形具有而矩形不具有的是（）A.对边相等B.对角线相等C.四个角都是直角D.对角线互相垂直2.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正方形的面积为（）A.3B.12C.18D.363.如图，已知□ABCD与正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数是（）A.75°B.70°C.55°D.50°4.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（）A.90°B.45°C.30°D.22.5°5.如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于()A.135°B.45°C.22.5°D.30°6.将一个正方形和两个正三角形按如图摆放，则∠1+∠2+∠3=()A.360°B.180°C.270°D.150°7.如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（）A.2B.3C.3D.无法确定8.如图，在正方形中，E，F分别为，的中点，P为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A.B.C.D.9.如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题10.如图，正方形ABCD的周长为28cm，则矩形MNGC的周长是________．11.如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F．若DF＝2，BG＝4，则GF的长为________12.延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为________，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于________．13.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为________14.如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是________15.如图，点E、F是正方形ABCD内两点，且BE=AB，BF=DF，∠EBF=∠CBF，则∠BEF的度数________．三、解答题16.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE=BF。求证：17.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，求∠BAE与∠AEB的大小18.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4.求证：DE∥FC19.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF的长。20.如图，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．（1）求证：；（2）求证：DE=EF+FB21.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点E为CB边的延长线上一点，点F是线段AE的中点，过点F作AE的垂线交BD于点M,连接ME、MC.（1）根据题意补全图形，猜想与的数量关系并证明；（2）连接FB，判断FB、FM之间的数量关系并证明.答案解析部分一、选择题1.【答案】D【考点】矩形的性质，正方形的性质【解析】【解答】解：A.对边相等，是平行四边形的性质，矩形和正方形都具有；B.对角线相等，是矩形的性质，正方形也有；C.四个角都是直角，是矩形的性质，正方形也有；D.对角线互相垂直，是菱形的性质，正方形具有，而矩形没有，故答案为：D.【分析】根据正方形和矩形的性质，对各选项逐一判断。2.【答案】C【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=3，∴AB=BC，OA=OC，∴AB=，∴正方形的面积=，故选C．【分析】根据正方形的性质和正方形的面积解答即可．3.【答案】B【考点】平行四边形的性质，正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°−∠AEF−∠CEF=180°−15°−90°=75°∴∠D=180°−∠CED−∠ECD=180°−75°−35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等).故答案为：B.【分析】利用正方形的性质及∠AEF=15°，求出∠CED的度数，再由∠ECD=35°，求出∠D的度数，然后利用平行四边形的性质，可求得结果。4.【答案】D【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠ACD=45°，∵CE=CA，∴∠CAE=∠E，∵∠BCA=∠E+∠CAE，∴∠E=∠CAE=22.5°，故答案为：D．【分析】根据正方形的性质得∠ACB=45°，再根据等腰三角形的性质得∠E=∠CAE，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解决问题．5.【答案】C【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：正方形的对角线.四边形是菱形.故答案为：C.【分析】利用正方形的性质可得出∠CAB=45°，再根据菱形的性质，可得出∠FAB=21∠CAB，即可解答。6.【答案】D【考点】等边三角形的性质，正方形的性质【解析】【解答】解：如图,在△ABC中,∴∴∠故答案为：D.【分析】利用平角的定义分别表示出∠BAC、∠ACB、∠ABC，再利用三角形内角和定理，得出∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，就可求出∠1+∠2+∠3的度数。7.【答案】B【考点】勾股定理，旋转的性质【解析】【解答】由旋转的性质，得BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．在Rt△PBP′中，由勾股定理，得PP′=，故答案为：B．【分析】由旋转的性质得BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．再由勾股定理可求出PP′的值.9.【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．∴PA+PE的最小值AE′；∵E为AD的中点，∴E′为CD的中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠ADE′=90°,∴DE′=BF，∴ΔABF≌ΔADE′，∴AE′=AF.故答案为：D.【分析】过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．根据对称的性质可知PA+PE的最小值AE′；根据正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠ADE′=90°,根据中点的定义及对称的性质得出DE′=BF，从而利用SAS判断出ΔABF≌ΔADE′，根据全等三角形对应边相等即可得出答案。10.【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，∴△BCE≌△DCG，∴BE=DG，故结论①正确.②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.由①可知，△BCE≌△DCG，∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，∴∠DOM=∠MCB=90°，∴BE⊥DG.故②结论正确.③如图所示，连接BD、EG，由②知，BE⊥DG，则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，∴BG2+DE2=2a2+2b2.故③结论正确.故答案为：D.【分析】利用正方形的性质，可证得CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，再证明∠BCE=∠DCG，然后利用SAS证明△BCE≌△DCG，就可得出BE=DG，可对①作出判断；设BE交DC于点M，交DG于点O，根据全等三角形的性质，可得出∠CBM=∠MDO，再在Rt△BMC和△DOM中，∠BMC=∠DMO，可证得∠DOM=∠MCB=90°，可对②作出判断；连接BD、EG，利用勾股定理可得出BG2+DE2=2a2+2b2，可对③作出判断；综上所述，可得出答案。二、填空题11.【答案】14cm【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵ABCD为正方形，MN⊥CD，NG⊥BC，∴△DMN和△BNG为等腰直角三角形，∴MN=DM，NG=BG，∴=MN+MC+CG+BG=DM+MC+GC+BG=DC+BC=14cm．【分析】利用正方形的性质，可证得△DMN和△BNG为等腰直角三角形，得出MN=DM，NG=BG，因此矩形MNGC的周长就是DC+BC的长。12.【答案】【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质【解析】【解答】解：如图，连接GE，作GH⊥CD于H.则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x−2.∵GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠GHF=90°，AB=AD=GH，AG=GE=x，∵∠BAE+∠AGF=90°,∠AGF+∠FGH=90°，∴∠BAE=∠FGH，∴△ABE≌△GHF，∴BE=FH=x−2，AE=GF在Rt△BGE中,∵GE²=BG²+BE²，∴x²=4²+(x−2)²，∴x=5，∴AB=9，BE=3，在Rt△ABE中,AE=，即GF=3.故答案为：3.【分析】连接GE，作GH⊥CD于H.则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x−2，先证明△ABE≌△GHF，可得出BE=FH=x−2，AE=GF，再利用勾股定理求出x的值，就可得出AB、BE的长，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，就可得出GF的长。13.【答案】112.5°；【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：如图所示：∵正方形ABCD中AC是对角线，∴∠ACF=45°，∴∠ACE=90°+45°=135°，∠CAE=，∠AFC=180°-45°-22.5°=112.5°．在Rt△ABC中，AC=CE=4,∴S△ACE=21.【分析】利用正方形的性质可求出∠ACF的度数及∠ACE的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ACE、∠AFC的度数；然后利用三角形的面积公式求出△ACE的面积。14.【答案】【考点】正方形的性质【解析】【解答】设正方形边长为a，∵S△ABE=18，∴S正方形ABCD=2S△ABE=36，∴a2=36，∵a＞0，∴a=6，在RT△BCE中，∵BC=6，CE=4，∠C=90°，∴BE===．故答案为：．【分析】设正方形边长为a，由正方形的性质可得S正方形ABCD=2S△ABE=36，则a2=36，解得a=6，因为a＞0，所以a=6，在RT△BCE中，由勾股定理可得BE==.15.【答案】8【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：阴影部分的面积=三角形ABG的面积+三角形DFG的面积=5×（5-3）÷2+3×（5-3）÷2=5+3=8．故答案为：8【分析】观察图形，可知阴影部分的面积=三角形ABG的面积+三角形DFG的面积，利用正方形的性质可求出BE、DF、FG的长，即可解答。16.【答案】45°【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：连接CF，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∠BCD=90．在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌