(数学补充)柱坐标系、球坐标系与直角坐标系之间单位矢量的转换

zzryrxsincoszzryrxeeeeeeeecossinsincos笛卡儿坐标系圆柱坐标数学补充xxyyzzrrzzAAeAeAeAeAeAejj=++=++cossinsincosxryrzzAAAAAAAAjjjjjjì=-ïï=+íïï=îcossinsincosrxyxyzzAAAAAAAAjjjjjì=+ïï=-+íïï=î圆柱坐标笛卡儿坐标系()221tanrxyyxzzf-ì=+ïï=íï=ïîcossinsincosrxyxyzzeeeeeeeejjjjjì=+ïï=-+íïï=î,,000rzrrzrzeeeeeeeerrreeezzzjjjjjjjì¶抖ï==-=ï抖?ïï¶抖ï===í抖?ïï¶抖ï===ï抖?ïîsincoscossincossinsinsincoscoscossineeeeeeeeeeerzryrxcossinsincossinrzryrxxyzyxzzyxr12221222tancoscossinsinsincoscoscoscossinsincossinyxzyxzyxreeeeeeeeeeeeAeAeAeAeAeAArrzzyyxxsincoscossincossinsinsincoscoscossinAAAAAAAAAAArzryrxcossinsinsincoscoscoscossinsincossinyxzxzyxrAAAAAAAAAAA0,0,0,,0sin,cos,sincosrrrrreeerrreeeeeeeeeeee)cos(sinsincoscoscos212121CBABCACBAACBBCACBABACACBCBAzyxzyxzyxCCCBBBAAACBA定义：设闭合曲面S包围着体积V，穿过S的矢量场的通量与V之比，在V0时的极限称为矢量场的散度。VSdffdivSV0limdS的正方向沿S的外法线方向。定义：在矢量场的某点上定义一个矢量，其方向为该点有最大环量面密度的方向，其大小等于这个最大环量面密度的值，这个矢量叫做该点的旋度。SldffrotLSn0lim面元的法线方向与沿边界的绕行方向成右手螺旋关系。上式表明：旋度矢量在任一方向上的投影，等于该方向上的环量面密度。定义：标量场中的某点上定义一个矢量，其方向为函数在该点变化率最大的方向，其大小等于这个最大变化率的值，这个矢量叫做函数在该点的梯度。函数在该点附近沿l方向的增量为ldrgradrdfdivffrotfgrad2fff200ffff2FFfgfggffggfgfgffffgfgfgfgfgfgffggffggffffLSsdfldfdVsdSV2dVsdVS22SVdVfsdfrrrr4132rrr3r0rrrrfrf'31rrr0rrf03rrarararairaieaiezeyexezyxzeyexezyxzAyAxAAzyxzyxzyxAAAzyxeeeA2222222zyxzzyyxxeAeAeAA2222zererezr1zueurerueuzr1zAArrArrAzr11zrzrArAAzrreereA22222211zuurrurrruzzrreAeAeAA2222sin11rerererureurerueursin11ArArArrrArsin1sinsin1122ArrAArrerereArrsinsinsin222222222sin1sinsin11ururrurrrueAeAeAArr2222其中AAArAArrrsin1sinsin12222AAArAAr22222sincossin22sin2sin2222AActgArAAr