小船渡河问题(含知识点、例题和练习)

小船渡河问题小船渡河的问题,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(即水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动.两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。【例1】一条宽度为L的河，水流速度为水v，已知船在静水中速度为船v，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若水船vv，怎样渡河位移最小？（3）若水船vv，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短：船vLtmin。此时，实际速度（合速度）22水船合vvv实际位移（合位移）船水船vvvLL22sins（2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L，必须使船的合速度v合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有水船vvcos，即船水vvarccos。因为θ为锐角，1cos0，所以只有在水船vv时，船头与河岸上游的夹角船水vvarccos，船才有可能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即Lsmin。实际速度（合速度）sin船合vv，运动时间sin船合vLvLt（3）若水船vv，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？V船V水V合如右图所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v合与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v合与圆相切时，α角最大，根据水船vvcos，船头与河岸的夹角应为水船vvarccos，此时渡河的最短位移：船水vLvLscos渡河时间：sin船vLt，船沿河漂下的最短距离为：sin)cos(min船船水vLvvx误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。【练习1】小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，dvkkxv04，水，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为0v，则下列说法中正确的是（）A.小船渡河的轨迹为曲线B.小船到达离河岸2d处，船渡河的速度为02vC.小船渡河时的轨迹为直线D.小船到达离河岸4/3d处，船的渡河速度为010v【练习2】小船过河,船对水的速率保持不变.若船头垂直于河岸向前划行,则经10min可到达下游120m处的对岸;若船头指向与上游河岸成θ角向前划行,则经12.5min可到达正对岸,试问河宽有多少米?【例2】如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角时，求物体A的速度。图1解：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于01vv；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将Av按图示方向进行分解。所以1v及2v实际上就是Av的两个分速度，如图1所示，由此可得coscos01vvvA。【练习3】如图所示,在水平地面上做匀速直线运动的汽车,通过定滑轮用轻绳吊起一个物体m,若汽车和物体m在同一时刻的速度分别为v1和v2,则下面说法正确的是()A.物体m做匀速运动且v1=v2B.物体m做减速运动且v1v2C.物体m做匀加速运动且v1v2D.物体m做加速运动且v1v2【练习4】如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体M的速度大小为（用v、θ表示）【练习5】如图所示，纤绳以恒定的速率v，沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运动，则船向岸边运动的瞬时速度v0与v的大小关系是：A、v0vB、v0vC、v0=vD、以上答案都不对。v2v1mθvPMv0θv