分数的拆分问题【讲义]

..分数的基本性质例1、分数38的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？分析：38=3+98+（），分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。拓展：分数154的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？例2、分数47的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是34，求分子和分母都加上的这个数是几？分析：方法一试一试：将34的分子、分母同时扩大相同的倍数34=68=912=1216=1520用这些分数的分子、分母与47的分子、分母相减，结果相同的就是。方法二先观察下面的几组等式：23=4635=91543=1612交叉相乘可以发现3×4=2×65×9=3×154×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当ab=dc时，a×c=b×d。解：设分子和分母都加上的这个数为x，根据题意可得：4+x7+x=34(4+x)×4=(7+x)×316+4x=21+3xX=21-16X=5方法三：【利用分母与分子差不变】拓展：分数4111的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83，求分子和分母都加上的这个数是几？原来相差30加同样的数还是相差30但新数相差为5，必须5×6=30例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于321，求原分数。方法：【利用分母与分子差不变】..例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34，如果分子减去1，就变成12，那么原来的分数是多少？方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”看分子减2倍可以不可以变成1/2方法二、通分拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45，如果分子减去1，分母加上1，就变成12，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数，变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2方程法：一个分数，如果分母减去2，就变成23，如果分母加上5，就变成38，那么原来的分数是多少？方法一、等值放大两数分母相差7方法二、通子一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成35，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数，变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19，得到是新分数化简后是15，求原来的分数是多少？利用和变拓展：分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为134，求某数是多少？利用和不变例6一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是43，如果分子加上124，分母加上340，那么约..分后是21。求原分数是多少？用方程组分数的拆分问题一、分数拆分的初步知识拆分主要有以下几个步骤：叫做扩分。注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即：④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。例1填空：事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。解：18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、9、18，取不同的两个约数的和，可以得到不同的解。如：..可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。如：选用1和2，3和6，9和18；或选用2和3；6和9时，解就相同。二、把一个分数拆成几个分数的和以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。……答案不只一种。三、把一个分数拆成两个分数的差能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。..观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d，都是自然当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。例5把下面各分数写成两个分数差的形式。..观察下面等式，左右两边有什么关系。通过上面算式，可以得出这样的结论：由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。四、拆分方法在分数加法运算中的应用..例6计算：解：由公式（2）解：由公式（3）例9计算：..解：由等差数列求和公式由此，本题中的各个分数可以拆分为：因此，本题解法如下：..例11计算解：根据公式（4）解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。上面三个算式表明，分母是2、3、4的如上面这样的算式，它们的和分别是2、3、4。由此可以推出，分母为K的如上面的算式，所有的分数的和等于K。所以，原式=2+3+4=9例13计算解：可以利用例12所得出的结论以及等差数列求和公式进行计算。原式=1+2+3+……+1991=（1+1991）×1991÷2=1983036习题五1.在下列各式的括号内填上适当的整数（1—3题）。..4.把下面各分数写成两个分数差的形式。5.先观察，找出规律。然后在（）内填上适当的整数（要求分母都不同，且尽可能小）