力矩与平面力偶理论

1第3章力矩与平面力偶理论2主要内容§3–1力矩的概念与计算§2–2力偶及其性质§2–3平面力偶系的合成与平衡第3章力矩与平面力偶理论力F对刚体产生的绕平面上O点的转动效应取决于：转动效应的强度：Fd；转动的方向：顺时针或逆时针。力对点之矩（力矩）是为了描述刚体运动中的转动效应。OAFB一、力对点的矩(力矩)§3-1力矩的概念与计算定义:为力对点之矩。O()MFFd力使刚体绕矩心逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。正负规定：O()2MFFdOAB其中：O为参考系中的某一点，称为矩心。d为矩心至力F作用线的垂直距离，称为力臂。OAFB平面中力对点之矩是一个代数量。力矩在下列两种情况下等于零：1.力的大小等于零；2.力的作用线通过矩心，即力臂等于零。力矩的单位常用N·m或kN·m。OAFB6若FR为两个共点力F1和F2的合力，则合力对平面内任一点的矩，等于分力对同一点之矩的代数和，即MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)二、合力矩定理证明：由合力投影定理有，Od=Ob+OcA。BF1CF2DFRx。Ocbd因此，MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)又∵MO(F1)=2S△OAB=OA·ObMO(F2)=2S△OAC=OA·OcMO(FR)=2S△OAD=OA·Od说明：可以证明上述结论对于平面汇交力系同样成立，对于有合力的更普遍的力系，这一定理也是成立的。例题3-1：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，求均布载荷的合力及其作用线位置。00()2llxqlQqxdxqdxl解:根据合力投影定理，则合力的大小为：再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。假设合力Q的作用线距离A点的距离为xC。lxqqx2023lCqlxqlxqdxxl23Clx思考：这个力系的合力及作用线位置。q2AlBq19例3-2如图所示，一带轮直径D=400mm，胶带拉力FT1=1500N，FT2=750N，与水平线的夹角θ=15°。求它们对轮心O之矩。θθFT1FT2OD解应用力矩计算公式，胶带拉力沿轮的切线方向，则力臂均为,而与角θ无关，故d=D/2MO(FT1)=-FT1×D/2=-300N·mMO(FT2)=FT2×D/2=150N·m10Fn例3-3如图所示，作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆直径D=160mm，压力角α=20°。求啮合力Fn=1000N对于轮心O之矩。FnFtFτ解：①直接用定义求解MO(Fn)=-Fn×(Dcosα)/2=-75.2N·m②应用合力矩定理求解Ft=FncosαFr=FnsinαMO(Fn)=MO(Ft)+MO(Fr)=-(Fncosα)×D/2+0=-75.2N·m11§3-2力偶及其性质把两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶，常记为：一、力偶的定义(F,F′)无法再简化的简单力系之一。力偶作用面：由一对力F所组成的平面；力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，用d表示；度量转动作用效应的物理量。单位为N·m或kN·m。力偶系：作用于刚体上的一群力偶。使刚体的转动状态发生改变。作用效应:FF'd力偶的作用面力偶臂二、力偶的等效定理和性质作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。1.平面力偶的等效定理两个推论：①力偶可在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。MrFrd(a)FrFrMrFr(c)FrMrFrd(b)Fr②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。152.力偶的性质（2）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本身又不平衡，也不能与一个力平衡（力偶只能由力偶来平衡）。是一个基本的力学量。（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。(,)()oABMFFrrFMBAMrF力偶矩FF因（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。(,)()()oooMFFMFMFABrFrF3、力偶的表示方法MM相同处：两者量纲相同；作用效应相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶矩是常量。联系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。三、力对点的矩与力偶矩的区别与联系193-3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用面共面的力偶系称为平面力偶系一、平面力偶系的合成F2dF′2dF1F′1d1F2F′2F′3F3d3dF1dF′1dF3dF′3dFRF′Rd1F1d=F1d1/dF2d=F2d2/dF3d=F3d3/dFR=F1d+F2d-F3dF’R=F’1d+F2d-F’3dM=FRd=(F1d+F2d-F3d)d=F1d1+F2d2-F3d3M=M1+M2+M3平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等于力偶系各力偶力偶矩的代数和.122RMMMMM结论：21平面力偶系平衡的充要条件是:所有各分力偶矩的代数和等于零。二、平面力偶系的平衡ΣM=0OBDαA1M2M例题3-4图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为和的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求和间的关系。1M2M1M2MαOAABF1MOFDBBAF2MDF解：1）画受力图，杆AB为二力杆。aABCMbcBCCFBF例题3-5图示机构在图示位置处于平衡。解：1）画受力图，BC为二力体。ACMCFAF220AMFab0,M2）列平衡方程：22BCCAMFFFFab22AMFab已知，a:b=c:a,不计杆重，求A，B两点的约束力。2）分别写出杆AO和BD的平衡方程：1cos0ABMFr22cos0BAMFr0,M212ABBAFFMMαOAABF1MOFDBBAF2MDF例题3-6各构件不计自重，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶。试求支座A的约束力。解：1）以BC构件为研究对象，画出分离体及其受力图。根据力偶平衡条件，列平衡方程：C0,0MMFl2）以ACD构件为研究对象，画出分离体受力图。根据力偶平衡条件，列平衡方程：DC0,0MFlFlDMFlA,xMFlAyMFlA点约束力为:方向与图示一致。βo1B1MoA2MB2Mo1AFA1OF1MoAAFCF例题3-7图示使机构在图示位置处于平衡。已知，OA=a，β=30o，M1，不计杆重，求M2。解：1）画受力图。2）列平衡方程：0,M曲柄OA：0,M摆杆O1B：1sin300AMFOA210AMFOA又：AAFF可得：214MM28M1M2M3M4例3-8如图所示，用多轴钻床在水平放置的工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的主切削力在水平面内组成一力偶，各力偶矩的大小为,转向如图，求工件受到的总切削力偶矩是多大?15NmM1=M2=M3=M4解:由M=ΣMi4(15)60NmMM1+M2+M3+M429例3-9梁AB上作用一力偶,其力偶矩大小为,转向如图，梁长l=5m,不计自重。求支座A、B的约束力。100NmMABFBFAMl解:由平面力偶系的平衡方程ΣM=0FAl-M=0解之，FA=FB=M/l=20kN30本章小结1.力对物体的转动效应，它与力和转动中心有关。2.力矩是力学中的一个基本概念，是力对于物体的转动效应的度量。3.(1)力偶是力学中的一个基本力学量；(2)力偶在任何坐标轴上的投影等于零，力偶对于任一点之矩为一常量并等于力偶矩；(3)力偶只能与另一力偶相平衡；(4)力偶最主要的特征是其等效性；(5)力偶对于物体的转动效应用力偶矩度量，在平面问题中为代数量；(6)平面力偶系的合成及平衡问题。31