《高等数学》课程电子教案(节选)

1《高等数学》课程前期建设成果本课程为我校第二批精品课程建设立项项目，学院为此专门抽调各教研室骨干教师组成课程组，充分发挥和强化其建设与改革职能，前期建设所取得的成果主要体现在以下几个方面：一、师资队伍建设本课程组共12名成员，其中正副教授5人，讲师3人，助教5人，其中具有博士学位3人，具有硕士学位6人，已初步建立一支数量充足、结构合理、素质优良、充满生机与活力的专任教师队伍。二、教材建设考虑到师范院校属性及相关学科的教学特点，构建融会贯通的课程体系，我们已经编写出下述《高等数学》系列教材：1.孙国正主编，高等数学，安徽大学出版社20032.刘树德编，高等数学，校科类基础课，教材，已申请出版3.刘树德编，高等数学续论，选修课教材，校内胶印使用三、教学改革1.加强教学内容的整合力度，以社会发展的新科技、新成果充实教学内容，提高教学起点。2.深入进行教学方法改革，多用启发式、讨论式、研究式教学方法，从改变教师的教学方式之入手，达到转变学生的学习方式之目的。3.运用现代教育手段提升教学水平。为教师制作CAI课件，使用多媒体授课，加快计算机辅助教学软件的开发积极创造条件。四、教学研究项目1.省高校教学研究项目,高等数学课程的优化设计，1999-2002；2.校教材建设基金资助项目，出版校科类基础课教材《高等数学》,20063.校第二批精品课程建设立项项目,《高等数学》，2005-2008课程建设是一项长期艰苦的工作，今后我们要继续努力，加快建设的步伐。2005.122《高等数学》课程电子教案(节选)授课人：刘树德教学内容：1、微积分学的基本定理与基本公式；2、定积分的换元积分法与分部积分法。教学目的：1、理解微积分学的基本定理与基本公式的涵义和重要性；2、熟练掌握和运用定积分的换元积分公式与分部积分公式。教学重点：定积分的换元积分法与分部积分法教学难点：微积分学的基本定理与基本公式教学手段：讲授§6.2微积分学的基本定理与基本公式若已知f(x)在[a,b]上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的。本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式。1.微积分学基本定理设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则对[a,b]中的每个x，f(x)在[a,x]上的定积分xadx)t(f都存在，也就是说有唯一确定的积分值与x对应，从而在[a,b]上定义了一个新的函数，它是上限x的函数，记作Ф(x)，即)x(xadt)t(f，x[a,b]这个积分通常称为变上限积分.定理6.2.1设f(x)在[a,b]上可积，则Ф(x)=xadt)t(f是[a,b]上的连续函数。证任取x[a,b]及Δx≠0，使x+Δx[a,b]。根据积分对区间的可加性，=Ф(x+Δx)-Ф(x)=dt)t(fdt)t(fdt)t(fxxxxaxxa。由于f(x)在[a,b]上可积，从而有界，即存在M＞0，使对一切x∈[a,b]有|f(x)|≤M，于3是||=dt)t(fxxx≤M|Δx|.故当Δx→0时有→0.所以Ф(x)在x连续，由x∈[a,b]的任意性即知Ф(x)是[a,b]上的连续函数.定理6.2.2(原函数存在定理)设f(x)在[a,b]上连续，则Ф(x)=xadt)t(f在[a,b]上可导，且Ф'(x)=f(x)，x∈[a,b]，也就是说Ф(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数.证任取x∈[a,b]及Δx≠0，使x+Δx∈[a,b].应用积分对区间的可加性及积分中值定理,有=Ф(x+Δx)-Ф(x)=dt)t(fxxx=f(x+θΔx)Δx,或x=f(x+θΔx),(0≤θ≤1).(2.1)由于f(x)在[a,b]上连续，)x(f)xx(flimx0.故在(2.1)中令Δx→0取极限,得xlimx0=f(x).所以Ф(x)在[a,b]上可导,且Ф'(x)=f(x).本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题.它明确地告诉我们:连续函数必有原函数,并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数f(x)的一个原函数.回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数.这里若把Ф'(x)=f(x)写成)x(fdt)t(fdxdxa.或从dФ(x)=f(x)dx推得)x(dt)t(f)t(dxaxa,就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算.从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来,组成一个有机的整体.因此定理6.2.2也被称为微积分学基本定理.4推论6.2.1设f(x)为连续函数，且存在复合f[(x)]与f[(x)],其中(x),(x)皆为可导函数,则)x(')]x([f)x(')]x([fdt)t(fdxd)x()x(.(2.2)证令Ф(x)=dt)t(fxa,a为f(x)的连续区间内取定的点.根据积分对区间的可加性,有)x()x()x(a)x(adt)t(fdt)t(fdt)t(f=Ф[(x)]-Ф[(x)].由于f(x)连续,所以Ф(x)为可导函数,而(x)和(x)皆可导,故按复合函数导数的链式法则,就有)x(')]x([')x(')]x(['dt)t(fdxd)x()x(=)x(')]x([f)x(')]x([f.所以(2.2)式成立.例1.证明:若f(x)在(-,+)内连续,且满足f(x)=xdt)t(f0,则f(x)≡0.证由假设知f(x)=xdt)t(f0在(-,+)内可导,且f'(x)=f(x).令F(x)=f(x)xe,x∈(-,+),则F'(x)=f'(x)e-x-f(x)e-x=0.所以F(x)≡c,x∈(-,+).由于F(0)=f(0)=0,可得F(x)≡0.从而有f(x)=F(x)ex≡0,x∈(-,+).例2．求21cos20limtxxedtx解：应用洛比达法则，原式22coscos100cossin11limlim222xxxxexxeexx2．牛顿——莱布尼兹公式定理6.2.3设fx在,ab上连续，若Fx是fx在,ab上的一个原函数，5则bafxdxFbFa.（2.3）证根据微积分学基本定理，xaftdt是fx在,ab上的一个原函数。因为两个原函数之差是一个常数，所以xaftdtFxC，,xab上式中令xa，得CFa，于是xaftdtFxFa.再令xb，即得(2.3)式。在使用上，公式(2.3)也常写作bbaafxdxFx，或bbaafxdxFx。公式(2.3)就是著名的牛顿——莱布尼兹公式，简称N—L公式。它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：fx在,ab上的定积分等于它的任一原函数Fx在,ab上的增量，从而为我们计算定积分开辟了一条新的途径。它把定积分的计算转化为求它的被积函数fx的任意一个原函数，或者说转化为求fx的不定积分。在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的。因此N—L公式也被称为微积分学基本公式。例3计算下列定积分（1）2204xxdx；（2）3220adxax（0a）；（3）1201xdx；（4）20sinxdx。解（1）原式2322018433x6（2）原式3011arctanarctan33axaaaa（3）原式122011ln122xxxx12ln122（4）原式20sinsinxdxxdx2coscos4xx例4设21,013,13xxfxxx，求30fxdx。解313200113fxdxxdxxdx133201133323xxxx。§6.3定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿——莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决，但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求。在定积分的计算中，除了应用N—L公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便。1、定积分的换元积分法定理6.3.1设函数fx在,ab上连续，函数xt在I（,I或,）上有连续的导数，并且a，b，atb（tI），则bafxdxfttdt（3.1）证由于fx与ftt皆为连续函数，所以它们存在原函数，设Fx是7fx在,ab上的一个原函数，由复合函数导数的链式法则有FtFxtfxtftt，可见Ft是ftt的一个原函数。利用N—L公式，即有bafttFtFFFbFafxdx所以(3.1)式成立。公式(3.1)称为定积分的换元公式。若从左到右使用公式(代入换元)，换元时应注意同时换积分限，还要求换元xt应在单调区间上进行。当找到新变量的原函数后不必代回原变量而直接用N—L公式，这正是定积分换元法的简便之处。若从右到左使用公式(凑微分换元)，则如同不定积分第一换元法，可以不必换元，当然也就不必换积分限。例1计算下列定积分（1）13411dxx；（2）122201xdxx；（3）520cossinxxdx；（4）350sinsinxxdx。解（1）令1xt，则21xt，2dxtdt，且当t从0变到12时，x从1减到34。于是原式102102122111tdtdttt1202ln11ln2tt.（2）令sinxt，则cosdxtdt，且当t从0变到12时，x从0增到6。于是原式226600sincossincosttdttdtt60sin2324128tt.8（3）原式625200cos1coscos66xxdx.（4）原式3332222002sincossincossincosxxdxxxdxxxdx3322202sinsinsinsinxdxxdx5522202224sinsin555xx.例2设fx在,aa上连续，证明：02aaafxdxfxdx特别当fx为奇函数时，0aafxdx；当fx为偶函数时，02aaafxdxfxdx证：因为00aaaafxdxfxdxfxdx，在0afxdx中，令xt，得000aaafxdxftdtfxdx所以0aaafxdxfxfxdx.当fx为奇函数时，fxfx，故0fxfx，从而有0aafxdx.9当fx为偶函数时，fxfx，故2fxfxfx，从而有02aaafxdxfxdx.例3设fx为0,1上的连续函数，证明：（1）2200sincosfxdxfxdx；（2）200sin2sinf