江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件：3.1 变化率与导数、导数的计算

第三章导数及其应用§3.1变化率与导数、导数的计算基础知识自主学习要点梳理1．平均变化率函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.f(x2)－f(x1)x2－x12．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的.相应地，切线方程为.f(x0＋Δx)－f(x0)Δx可导f′(x0)(x0，f(x0))切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)3．函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝____f′(x)＝_____f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logaxf′(x)＝________________f(x)＝lnxf′(x)＝_____0cosx－sinxaxlna(a0),且a≠1)ex1xlna(a0，且a≠1)1x()()fxx为常数1x5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)f(x)g(x)′＝(g(x)≠0)．6．复合函数的导数若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)[难点正本疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础自测1．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为________.解析f′(x)＝－8＋22x，f′(x0)＝－8＋22x0＝4，∴x0＝32.322.已知f（x）=x+2sinx，则f′(0)=.3解析f′(x)=1+2cosx,∴f′(0)=3.3.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=.－2解析由题意知f′(x)=4ax3+2bx，可知f′(x)为奇函数，若f′(1)=2,即f′(1)=4a+2b=2,故f′(-1)=-f′(1)=-4a-2b=-2.点评到f（x）的导函数是一个奇函数.f′(-1)=-f′(1).4.已知函数f(x)=f′（π2）sinx+cosx,则f(π4)=.05.已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是.x-y-2=0题型分类深度剖析题型一利用导数的定义求函数的导数例1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．解∵Δy＝x0＋Δx2＋1－x20＋1＝（x0＋Δx）2＋1－x20－1（x0＋Δx）2＋1＋x20＋1＝2x0Δx＋（Δx）2（x0＋Δx）2＋1＋x20＋1，∴ΔyΔx＝2x0＋Δx（x0＋Δx）2＋1＋x20＋1思维启迪：紧扣定义ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx进行计算．探究提高求函数f(x)平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率ΔfΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．变式训练1过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点P处切线的斜率．解∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，∴割线PQ的斜率为ΔyΔx＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3Δx＝3＋3Δx＋(Δx)2.∴当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率为ΔyΔx＝3＋3×0.1＋(0.1)2＝3.31，曲线在点P(1,1)处切线的斜率为当Δx→0时，ΔyΔx＝3＋3Δx＋(Δx)2→3.题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y＝xx2＋1x＋1x3；(2)y＝x－sinx2cosx2；(3)y＝(x＋1)1x－1.思维启迪：若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．解(1)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(2)y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(3)y＝x·1x－x＋1x－1＝1212,xx13221111(1).222yxxxx探究提高（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练2求下列函数的导数：(1)y＝(x－2)2；(2)y＝cosx2sinx2－cosx2；(3)y＝log2(ax3)．解(1)∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝(x－4x＋4)′＝1－2x.(2)∵y＝cosx2sinx2－cosx2＝cosx2sinx2－cos2x2＝12sinx－12(1＋cosx)＝12(sinx－cosx)－12，∴y′＝12sinx－cosx－12′＝12(sinx－cosx)′＝12(cosx＋sinx)＝22sinx＋π4.(3)∵y＝log2(ax3)＝log2a＋3log2x，∴y′＝(log2a)′＋(3log2x)′＝3xln2.例3求下列复合函数的导数：(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．思维启迪：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．解(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5与u＝2x－3复合而成，∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.(2)设u＝3－x，则y＝3－x由y＝u与u＝3－x复合而成．∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝12u(－1)＝－12u＝－123－x＝3－x2x－6.(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π3·cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，∴y′＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.12121212探究提高由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．变式训练3求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)n(n∈N*)；(2)y＝x1＋x5.解(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1.(2)y′＝5x1＋x4·x1＋x′＝5x1＋x4·1＋x－x1＋x2＝5x41＋x6.题型三导数的几何意义例4已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．思维启迪：函数y＝ax2＋bx＋c在点Q(2，－1)处的导数值等于切线斜率为1，且点Q(2,－1)、点P(1,1)都在抛物线上．解∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在Q(2,－1)处的切线斜率为k＝4a＋b.∴4a＋b＝1.①又∵P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③解方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.探究提高利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．变式训练4设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.求y＝f(x)的解析式．解f′(x)＝a－1x＋b2，由题意得2a＋12＋b＝3，a－12＋b2＝0，解得a＝1，b＝－1，或a＝94，b＝－83，又因a，b∈Z，故f(x)＝x＋1x－1.易错警示5．分不清“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”的区别致误试题：(14分)已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．审题视角(1)曲线在(2,4)处的切线，即切点为(2,4)；(2)曲线过点(2,4)的切线，(2,4)不一定是切点，所以要先设切点．规范解答解(1)∵y＝13x3＋43，∴y′＝x2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.[2分]由y－4＝4(x－2)，得4x－y－4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，[8分]则切线的斜率k＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.[10分]∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，[12分]即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.[14分]批阅笔记(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是切点，从而导致错误．(4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错误的．依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线有除切点外的其他公共点．思想方法感悟提高方法与技巧1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f