(高中数学必修5)基本不等式

2abab§3.4基本不等式:2002年第24届国际数学家大会在北京举行2002年第24届国际数学家大会在北京举行会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。ADBCEFGHab22ab你能在图中找出一些面积的相等或不等关系吗正方形ABCD的面积为a2＋b24个直角三角形的面积和为2ab所以不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222abab当EFGH缩为一点，即a=b时，有a2＋b2＝2ab不等式：（当且仅当a=b时，等号成立）222abab特别地，如果a0、b0,用分别代替a、b得：ab、2abab22（）+（）即：2aba+b要特别注意条件写成：(0,0)2ababab_____要证2abab只要证ab①显然④是成立的，当且仅当______时，等号成立下面证明不等式：(0,0)2ababab证明：2ab要证②，只要证②_____0ab③要证③，只要证2(______)02abab④ab(0,0)2ababab故成立基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。注意：①不等式的适用范围。②称为正数a、b的几何平均数称为它们的算术平均数。ab2ab(0,0)2ababab222abab的适用范围呢？②基本不等式：(0,0)2ababab222abab常用的不等式：①重要不等式：2()2abab2abab③基本不等式的变形：其中恒成立的是_________利用基本不等式判断大小关系例1：设0a1，给出下列不等式1(1)(1)4aa221(2)121aa(1)应用举例解:2(1)1(1)01,10(1)24aaaaaa112aaa当且仅当即时，等号成立一正二定三相等解:22111aa当且仅当时，等号成立222221110,12(1)211aaaaa（2）显然222211(1)11aaa而否则就有，等号不成立一正二定三相等其中恒成立的是_________例1：设0a1，给出下列不等式1(1)(1)4aa221(2)121aa应用举例利用基本不等式判断大小关系×(1)归纳小结：用基本不等式要注意其中恒成立的是_________例1：设0a1，给出下列不等式1(1)(1)4aa221(2)121aa(1)应用举例利用基本不等式判断大小关系例2：下列各式中，用基本不等式可以得到最小值4的是（）4.Ayxx4.sin(0)sin2Byxxx1.8(0)2CyxxxC利用基本不等式求值域应用举例1.(1)已知两个正数a,b的积等于36,则当a=_____,b=_____时,它们的和最小,最小值等于_____？(2)已知两个正数a,b的和等于18,则当a=_____,b=____时,它们的积最大,最大值等于_____？巩固练习81669912（1）两个正数的积为定值，和有最小值（2）两个正数的和为定值，积有最小值归纳小结12yxx函数的最小值是2.判断题(1)()(2)()222sin22sin巩固练习(3)()(14)yxx11函数(0x)的最大值是44√××一正二定三相等1111yxx实践创新11.1xyxx3.若，求函数的最小值11,10,1xxx解：012(1)13(1)xx1121xxx当且仅当即时，有最小值3一正二定三相等感受总结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.灵活对公式的正用、逆用、变形用(0,0)2ababab2abab2()2abab2abab应用二：解决最大（小）值问题分析：（1）面积一定，求长与宽的和的最小值（2）________一定，求_________的最大值长与宽的和长与宽的积联想：2abab（左右）（左右）例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用举例例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解：(1)设长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m由100102xyxy可得20xy∴2（x+y）≥40当且仅当x=y即x=y=10时，等号成立答(略)一正二定三相等应用举例例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解：(2)设长xm,宽ym,则2(x+y)=36,x+y=18面积为xym2由18922xyxy可得81xy当且仅当x=y即x=y=9时，等号成立答(略)应用举例应用二：解决最大（小）值问题归纳小结：（1）两个正数的积为定值，和有最小值（2）两个正数的和为定值，积有最大值应用要点：例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用举例