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木鱼石整理高中数学解题思想方法I木鱼石整理目录前言.....................................................................................................II第一章高中数学解题基本方法..................................................................1一、配方法...................................................................................................1二、换元法...................................................................................................3三、待定系数法...........................................................................................9四、定义法.................................................................................................13五、数学归纳法.........................................................................................16六、参数法.................................................................................................20七、反证法.................................................................................................23第二章高中数学常用的数学思想............................................................26一、数形结合思想方法.............................................................................26二、分类讨论思想方法.............................................................................30三、函数与方程的思想方法.....................................................................35四、等价转化思想方法.............................................................................40第三章高考热点问题和解题策略............................................................45一、应用问题.............................................................................................45二、探索性问题.........................................................................................50三、选择题解答策略.................................................................................54四、填空题解答策略.................................................................................58II木鱼石整理前言美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查:①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等;②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等;④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。编者:东升高中高建彪fggjb@163.net0760-2298253整理:木鱼石sxzyxz@163.com1木鱼石整理第一章高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+b2)2+(32b)2;a2+b2+c2+ab+bc+ca=12[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-bc-ca)=…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2;x2+12x=(x+1x)2-2=(x-1x)2+2;……等等。Ⅰ、再现性题组:1.在正项等比数列{an}中,a1a5+2a3a5+a3a7=25,则a3+a5=_______。2.方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。A.14k1B.k14或k1C.k∈RD.k=14或k=13.已知sin4α+cos4α=1,则sinα+cosα的值为______。A.1B.-1C.1或-1D.04.函数y=log12(-2x2+5x+3)的单调递增区间是_____。A.(-∞,54]B.[54,+∞)C.(-12,54]D.[54,3)5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上,则实数a=_____。【简解】1小题:利用等比数列性质ampamp=am2,将已知等式左边后配方(a3+a5)2易求。答案是:5。2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)2+(y-b)2=r2,解r20即可,选B。3小题:已知等式经配方成(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题:答案3-11。Ⅱ、示范性题组:例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。A.23B.14C.5D.6第一章高中数学解题基本方法2木鱼石整理【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则211424()()xyyzxzxyz,而欲求对角线长xyz222,将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:211424()()xyyzxzxyz。长方体所求对角线长为:xyz222=()()xyzxyyzxz22=6112=5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x2+kx+2=0的两实根为p、q,若(pq)2+(qp)2≤7成立,求实数k的取值范围。【解】方程x2+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2,(pq)2+(qp)2=pqpq442()=()()pqpqpq2222222=[()]()pqpqpqpq2222222=()k22484≤7,解得k≤-10或k≥10。又∵p、q为方程x2+kx+2=0的两实根,∴△=k2-8≥0即k≥22或k≤-22综合起来,k的取值范围是:-10≤k≤-22或者22≤k≤10。【注】关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足a2+ab+b2=0,求(aab)1998+(bab)1998。【分析】对已知式可以联想:变形为(ab)2+(ab)+1=0,则ab=ω(ω为1的立方虚根);或配方为(a+b)2=ab。则代入所求式即得。【解】由a2+
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