第五讲刚体

牛顿运动定律与力学中的守恒定律复习牛顿第二定律)()(tamtF冲量：0ttIFdt动量：pmv质点的动量定理prDFIr21dtttr质点系的动量定理pptFIppttrrrrrrD2121dd外外恒力的功rFAΔΔ位移无限小时：rFAdd变力的功dQPAFrQPzyxzFyFxFA)ddd(vFrFddtP··功率tAPdd牛顿三大定律；动量定理，动能定理，功能原理，动量守恒，机械能守恒第五讲刚体定轴转动的描述刚体定轴转动定律交第1,2，3次课作业刚体——受力时不改变形状和体积的物体。特点:(1)刚体上任意两点间的距离都保持不变。一.刚体运动的基本形式1.平动——在运动中,刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持不变,这样的运动就称为平动。特点：刚体上各质元的运动状态完全相同描述刚体的平动时，可用质心的运动代表。(2)刚体由许多质元组成。刚体的运动平动实例2.转动定轴转动——刚体上的各个质元均作圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上的转动。定点转动——转轴上有一个点固定不动，而转轴的方向在变动的转动。刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般运动可看作是平动和转动的结合。二.定轴转动的描述定轴转动的特点：刚体上各质元均随刚体绕定轴作圆周运动。注意：转轴并不一定穿过刚体。定轴转动实例平动＋转动实例1平动＋转动实例2zO1.描述刚体转动的角量xPrrD(1)角坐标(2)角位移D(3)角速度dtd(4)角加速度22dtddtd（方向与转向成右手法则）r反向与减速转动：同向与加速转动：rrrr注意：刚体转动时，各点相同，亦相同。rr特例：当刚体作匀变速转动时，恒量，即时，且0t00t020021tt)(020222.描述刚体转动的线量(1)线位移ds(2)线速度v(3)线加速度a(at,an)rddsrvrdtdrdtdsvrrrdtdrdtdvat22rrvan3.线量与角量的关系刚体定轴转动的描述描述整体运动的角量角坐标角位移D角速度dtdt020021tt)(02022描述刚体上各质点运动的线量速度v切向加速度at法向加速度an角量线量的联系大小M=Fd=Frsinθ力矩FrM单位牛顿米(N·m)方向右手定则rMFyxzOd一、力矩右手定则四指由矢径通过小于180º的角度转向力的方向，姆指指向就是力矩的方向。rF刚体转动定律二、角动量大小l＝rmvsin方向右手螺旋定则判定单位kgm2/svmrprl、m、r、vp设质点的质量、位矢、速度和动量分别为。质点相对参考点O的角动量定义为moθlrprlpvmxyzO1.动量的概念对刚体已失去意义P=0一.刚体的角动量2.刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质元的角动量之和。zOirrimDivrrLr设刚体以角速度绕固定轴z转动,质量为Δmi的质点对o点的角动量为riiiivmrLrrrD刚体的角动量就是iiiiiivmrLL)(rrrrD!刚体的角动量说明：由于刚体上每个质元都绕z轴作圆周运动，故刚体上所有质元的角动量的矢量和，即整个刚体的角动量的方向是沿z轴方向的。故将上式表示的角动量称为刚体对固定轴z的角动量（简称刚体的角动量）。iiiiiivmrLL)(rrrrD由于刚体角动量的方向只沿轴向，故常常关心角动量的大小：iiiiiivmrL)sin(090Diiiiiiirmvmr2DDJLiiirm)(2DJL角动量物理含义：在定轴转动中，刚体对转轴的角动量的大小等于刚体对该轴的转动惯量J与刚体角速度的乘积。刚体对定轴的角动量大小3.转动惯量J的计算刚体对固定转轴（可穿过刚体，也可不穿过刚体）的转动惯量的定义：iiirmJ2D（质量分离）dmrJ2（质量连续分布）由刚体的质量分布相对于转轴的分布决定，对给定的刚体和转轴，它为一常量，称为转动惯量。iiirm2D其中：iiirmJ2D（质量分离）dmrJ2（质量连续分布）转动惯量与刚体各部分质量相对于转轴的分布情况有关，其关系概括为以下三点：（1）形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。（2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。（3）同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转动惯量不同。刚体对任一转轴的转动惯量J等于刚体通过质心的平行轴的转动惯量Jc加上刚体的总质量m乘以两平行轴间距离dJ=Jc+md2平行轴定理cdm质心轴平行轴例1质量离散分布刚体：J=Δmiri2(1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计的细杆连接,如图所示。系统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为lll·crommm)33(lr23mrJc,2mllll·crommm通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为)33(lr,322mlmrJc(2)用质量不计的细杆连接的五个质点,如图所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点,转动惯量为Om2m3m4m5mllllJO=m.02+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)=30ml2JO=ml2+ml2=2ml2dmrJ2(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。解建立如图所示的坐标，将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx,对棒积分得例2质量连续分布刚体:2222121mldxlmxJllC记住！xdxxdmCo若棒绕一端o转动,由平行轴定理，则转动惯量为22231)2(121mllmmlJo关键：根据具体的情况，选取适当的积分元。dmRJc2R(2)均质细圆环(m,R)绕中心轴转动时，其转动惯量为dmdmrJRc02(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个半径r、宽dr的圆环积分：Rrdr记记2mRrdrRmrR2022221mR1.物理意义：力矩的瞬时作用效果是产生角加速度，力矩是刚体的转动状态发生变化的原因。而转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。JMmaF2.平动与转动的类比定轴转动定律表明：刚体的角加速度与外力对转轴的力矩成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。定轴转动定律沿直线平动绕定轴转动坐标速度加速度匀变速直线运动公式质量力牛顿第二定律角坐标角速度角加速度匀变速转动运动公式转动惯量力矩转动定理xdtdxvdtdvat020021tt)(002atvv020021attvxx)(002xxavvdtddtdmFmaFiiirmJ2DMJM解由M=J,=o+t有外力矩时,例3以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。撤去外力矩时,-Mf=J2,2=-/t2(2)代入t1=10s,t2=100s,=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得J=17.3kg.m2。20-Mf=J1，1=/t1(因o=0)(1)20=J1，1=/t1(因o=0)二.转动定律的应用图6-14mMR解对柱体,由转动定律M=J有mg.R=J这式子对吗？错！此时绳中张力Tmg。正确的解法是用隔离体法。例4质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mgT对m:mg-T=ma对柱：TR=J关联：a=R解得=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。小结：刚体定轴转动动力学问题的第一种类型为转动定理的应用。一般处理方法是：确定研究对象，进行受力分析。对平动的物体列出牛顿定律方程；对转动的物体列出转动定理方程；再由角量和线量的关系，将平动和转动联系起来，联立方程，求解未知。