10.3双线性函数

一、双线性函数二、度量矩阵§10.3双线性函数三、非退化双线性函数四、对称双线性函数一、双线性函数设是数域上的维线性空间，映射VPn1、定义:fVVP为上的二元函数.V,,V即对根据唯一地对应于中一个数fP(,),f如果(,)f具有性质:11221122(1)(,)(,)(,)fkkkfkf11221122(2)(,)(,)(,)fkkkfkf其中121212,,,,,,,VkkP则称为上的一个双线性函数.(,)fV对于线性空间V上的一个双线性函数当固定一个向量(或)不变时，可以得出一个双线性函数.(,)f注：例1.线性空间上的内积即为一个双线性函数.V:,(,)(,),,fVVPfV2、例题讲析例2.上两个线性函数V12,:,ffVP12:,(,)()()fVVPfff定义证明:f是V上的一个双线性函数.1122121122(,)()()fkkffkk1122(,)(,),kfkf1122111222(,)()()fkkfkkf11222(,)(,)kfkf证：例3.设是数域上的维线性空间，nPPn.nnAP1122,,nnxyxyXYVxy:fVVP令则为上的一个双线性函数.(,)fXYnP(),ijnnAa若11112121(,)'nnnnnnxaaxfXYXAYxxxaax,1nijijijaxx(,)'.XYXAY则①②事实上，①或②是数域上任意上的维线性空间上双线性函数的一般形式.PVn(,)f设为数域上线性空间V的一组基，12,,,nP设12112212()nnnnxxxxxx12()nX12112212()nnnnyyyyyy12()nY则11(,)(,)(,),nniiiiijijijffxyfxx1111nnnnaaAaa(,),,1,2,,,ijijafijn令1212(,),nnyyfxxxAy1111(,)(,).(,)(,)nnnnffAff则其中设是数域上任意上的n维线性空间V上一个双线性函数，为V的一组基，则矩阵(,)fP12,,,n111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)nnnnnnffffffAfff称为在下的度量矩阵.(,)f12,,,n二、度量矩阵1、定义命题1在给定基下,上全体双线性函数与上全体级矩阵之间存在1─1对应.VPn12,,,,n证：取定的一组基V双线性函数11(,)(,)(,),nniiiiijijijffxyfxx令1111(,)(,).(,)(,)nnnnffAff则与对应.(,)ijAff即与在下的度量矩阵对应.f12,,,nf2、性质且不同双线性函数对应的在下的度量矩阵不同.12,,,n事实上，若在下的度量矩阵分别为,fg12,,,n(,),(,)ijijAfBg且时fg.AB(,)(,),,1,2,,.ijijfgijn即则对任意1122,nnxxx1122.nnyyyV有(,)(,)(,)iiiiijijffxyfxx(,)(,)(,)iiiiijijggxygxx.fg矛盾.反之，任取1111,nnnnnnaaAPaa对V中任意向量11,,nniiiiiixy(,)',ijijfXAYaxy定义函数则f为V上的一个双线性函数.在下的度量矩阵即为(,)f12,,,n.A命题1′线性空间V上双线性函数空间与同构.*VnnP12,,,,n证：取定V的一组基作映射*:,(,)(,)nnijVPfAf则为到的1─1对应.*VnnP事实上，任取11,,,nnnniiiiiiBPxyV1212(,),nnyygxxxBy则为满射.是V上的一个双线性函数.若双线性函数但(,)(,),fg()().fg(,)(,).ijgBg设(,)(,),ijfAf则1212(,)(,)nnyyfxxxAgy1212.nnyyxxxBy为单射.令()(,)(,)(,)fgfg()(,)[(,)]kfkf易证仍为V上双线性函数.,fgkf并且()(,)(,)(,)ijijijfgfg(,)(,)ijijfgABfg(,)ijkfkAkf命题2维线性空间V上同一双线性函数，在V的不同基下的矩阵是合同的.n(,)f证：设在V的基与下的度量矩阵分别为(,)f12,,,n12,,,n,.AB11,XCXYCY1111(,)'()'()''''fXAYCXACYXCACY1212(,,,)(,,,)nnC12121(,,,)(,,,)nnXX12121(,,,)(,,,)nnYY11(,)'.fXBY'.BCAC即A与B合同.注：若矩阵A与B合同，则存在一个双线性函数及V上两组基，使在这两组基下的度量矩阵为(,)f(,)f,.AB1、定义设是线性空间V上的一个双线性函数，如果从可推出则称是非退化的.(,)f(,)0,fV0.(,)f命题3双线性函数是非退化的的度量矩阵为非退化的.(,)f(,)f三、非退化双线性函数2、性质121212()(),nnnxxXx121212()().nnnyyYy(,)'.fXAY证：设双线性函数在基下度量矩阵为(,)f12,,,n,A若对任意均成立.(,)'0fXAYV即对任意均有Y'0.XAY必有'0,'0.XAAX而只有零解'0AX'0.A即即非退化.0,AA推论：由可推出,V(,)0f0,则非退化.f例、设定义上的一个二元函数,mmAPmnP(,)('),,mnnnfXYTrXAYXYP(1)证明f是上得双线性函数；mnP(2)求在基(,)fXY1112121,,,,,,,,,nnmmnEEEEEE下的度量矩阵.3、例题讲析(1)证11221122(,)('())fXkYkYTrXAkYkY1122('')TrXAkYXAkY1122(')(')TrkXAYTrkXAY1122(,)(,)kfXYkfXY11221122(,)(,)(,)fkXkXYkfXYkfXY1122('')TrkXAYkXAY1122(')(')kTrXAYkTrXAY所以度量矩阵为111212122212.nnnnnnnnmnmnmnnaEaEaEaEaEaEaEaEaE（2）解：(,)(')0ikijktijktajtfEETrEAEjt四、对称双线性函数1、定义设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为对称双线性函数.(,)f,(,)(,)ff(,)f2、定义设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为反对称双线性函数.(,)f,((,)(,))ff(,)f命题1数域P上n维线性空间V上双线性函数是对称的（反对称的）在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.(,)f证：任取V的一组基12,,,,n1212(,,,),(,,,).nnXY(,),()ijijijfaAa则(,)'.fXAY3、对称双线性函数的有关性质(,)(,)''ffXAYYAX(,)(,)ijjiff(')'''YAXXAY同样(,)(,)(,)(,)ijjiffff''''XAYYAXXAY'.AAijjiaa'AA定理5设V是数域P上n维线性空间.是V上对称双线性函数，则存在一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角形.(,)f12,,,n(,)f证：只需证能找到一组基，使12,,,n(,)0,ijfij1）若则,(,)0,f(,)0.ijf2）若不全为0，先证必有(,)f11(,)0.f否则，若则对有,(,)0,Vf,V1(,)[(,)(,)(,)]2ffff1[000]0.2所以这样的是存在的.1对用归纳法.dimVn①时成立.1n②假设维数上述结论也成立.1n将扩充为V的一组基112,,,.n1111(,)',1,2,,.(,)iiifinf令则1111(,)(,')(,)0.(,)iiiiiffff易证仍是V的一组基.12,',,'n考察由生成的线性子空间23',',,'n23(',',,')nL23(',',,'),nL有且1(,)0f123()(',',,')nVLL把看成上的双线性函数，(,)f23(',',,')nL仍是对称的.由归纳假设，有一组基满足23(',',,')nL2,,n(,)0,2,3,,.ijfijnij故是V的一组基，且满足12,,,n(,)0,2,3,,.ijfijnij123()(',',,').nVLL由于若在基下的度量矩阵为对角矩阵(,)f12,,,n1ndd12(,,,),niiXx111222(,)'.nnnfXDYdxydxydxy则对12(,,,)niiYyV注：推论1设V是复数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对(,)f12,,,,n1122,nnxxx1122(,).rrfxyxyxy(,)0ijrfrn秩1122nnyyyV推论2设V是实数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对(,)f12,,,,n1122,nnxxx112211(,).pppprrfxyxyxyxyxy(,)ijrf秩1122nnyyyVp为正惯性指数.定理6设为n维线性空间V上反对称双线性函数（即）则存在V的一组基使,,(,)(,)Vff111,,,,,,,rrs(,)f（2）(,)11,,(,)00(,)0,1,2,,iiijkfirfijfVks4、反对称双线性函数的有关性质2