24-3数学九年级资料三角形一边的平行线(很好-很全-很详细)

1FEDCBADBCEFA24.3三角形一边的平行线学习目标：1、通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；2、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；3、掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.主要概念：4、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题.主要概念：1、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,,,ABDEBCEFABDEBCEFACDFACDF.2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：ADBECFABBCDEDF.熟悉定理的几种变形井字型A字型X字型倒A字型畸形(O无用)3、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例4、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原O2三角形的三边对应成比例.5、重心的性质三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍重心要掌握三点：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2、作法：两条中线的交点.3、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.6、三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.7、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.即：如图，如果或或则DE∥BC.典型例题：【导入】1、同底等高的三角形的面积比是多少？（1：1）2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）4、若cdab，（,,,abcd均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式：，（让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）,,,,,,,.adaccbbdbcdbcadacbdbadcadaacbdbcADBECABCDE35、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且等于底边的一半）【例1】如图若DE∥BC，1ADBD，能否得到1AEEC?解：由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：1EADEDBSADSDB；由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：EADEDCSAESEC.因为DE∥BC，所以EDBEDCSS，所以EADEDCSAESEC=1即.【例1拓展1】若将DE向下平行移动能否得到？已知：ABC,直线l与边AB、AC分别相交于点D、E，且l∥BC.求证：.证明：联结EB,CD设E到BA的距离为h，则11,22EADEDBSADhSDBh,得EADEDBSADSDB，同理可得EADEDCSAESEC，ABCDE1ADAEDBECABCDEADAEDBECADAEDBECABCABCABCDEDEDE4DE∥BC,.EDBEDCSSADAEDBEC请问：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？今后常用的有三个比例式：EDABCAEDCB【拓展2】若DE截在AB,AC的延长线上，或DE截在BA,CA的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.符号语言：∵DE∥BC,ADAEBDEC,用符号书写：DE∥BC强调在同一条线段上的比例关系.【例2】如图,已知DE∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE.解∵DE∥BC,∴CEACBDAB,由AB=15,AC=10,BD=6,得,∴CE=4.【例2拓展练习】1、在△ABC中，DE∥BC，DE与AB相交于D，与AC相交于E.（1）已知4,3,5AEDBAD，求EC的长.,,ADAEADAEDBECDBECABACABACABADBCDEABCDE15106CEABCDE5BOEFACD（2）已知5,4,12DBECAC求AD的长.（3）已知BDAD：3：2，10AC，求AE的长.2、如图，在⊿ABC中，DE∥BC，S⊿BCD：S⊿ABC=1：4，若AC=2，求EC的长.ABCDE3、如图，已知，AB∥CD∥EF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.4、如图，在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求证：2AE=AB·AD.ABCDEG【例3】证明三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.ABCDEFABCDE6分析：DEBC中的DE不在△ABC的边BC上，但从比例ADAEABAC可以看出，除DE外，其它线段都在△ABC的边上，因此我们只要将DE移到BC边上去得CF=DE，然后再证明ADCFABBC就可以了，这只要过D作DF∥AC交BC于F，CF就是平移DE后所得的线段.已知：DE∥BC，求证BCDEACAEABAD.证明：作DF∥EC交BC于F,DE∥BC,四边形DFCE为平行四边形，得FC=DE,∵DF∥EC,∴ABADBCFC,∴DEADBCAB.DE∥BC得ADAEABAC,∴ACAEABADBCDE.EDABCEDABC如上图，当的延长线上时的延长线上或在CABAACABDE,,结论同样成立，得证。【例4】如图，线段BD与CE相交于点A,DE∥BC,已知2BC=3ED,AC=8,求AE的长.7ADBEC【例5】已知：如图CFBE,是ABC的中线，交于点G，求证：21GCGFGBGE.GABCEF（重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.）【例6】已知：在RtABC中，∠090C，AEBDAB,,12是中线交于G点，求CG的长.【例7】已知：在RtABC中，∠090C，GBCAB,4,5是重心，GHAB于H，求GH的长.【例7拓展】1.如图，在△ABC中，DE∥BC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的长.[2.如图：BD∥AC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的长.3.已知，△ABC中，∠C=090，G是三角形的重心，AB=8，求：①GC的长；②过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，EBCADBEACD8FEDCBA求MN的长.NMGCABGBCA4.已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的长.【例8】如图AD∥BE∥CF，AB=3，AC=8，DF=10，求DE,EF的长.【例9】已知线段a,b,c,求作线段x,使a:b=c:x[来【例10】如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC,则下列比例式中正确的是（）abcBOACDMNabcx第3题第4题9A.;B.;C.;D..【答案】B【方法总结】在做一线三角类题目使可以要求学生按照下图所示，用单双弧标出（先将分别标为双弧、单弧，然后根据平行线定理标出其他线段）然后对各个选项进行判断.【例10拓展】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，,则DE=。【答案】6【提示】10【例11】如图，四边形ABCD是菱形，且AB=14，BC=12,AC=10,则BE等于（）A.5;B.6;C.7;D.8.【答案】5【提示】【方法总结】往往设平行四边形（特殊的平行四边形）的边长为，然后列比例关系求解即可【例11拓展】如图，若DE∥BA，DF∥BC，，AB=9，BC=6,则BEDF周长=。11【答案】【提示】【例12】如图，在△ABC中，E是AC中点，延长BC到D，使DC=BC，连接DE，并延长交AB于F，则DE：EF=。【答案】3:1【提示】【方法总结】以下图为例，当与的交点为或中点时，通常以过该点的某一线段为中位线，构造三角形的第三边，然后通过比例求解即可.12【例12拓展1】1．如图，，G为AF的中点，则＝_______。【答案】7:1【例13】（变式）如图，已知BD=DC,求证：EAFB=ECFA.【答案】略【提示】【方法总结】如下图，遇到此基本图形，通常过A作DF的平行线或过D作AC的平行线【例13拓展】如图，D、E分别为△ABC的AB和AC上的点，且BC的延长线交DE的延长线于F点，且.求证：DB=EC。13【答案】略【提示】,【例14】（变式）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，延长AD到E，延长AB交CE于P。若AD=2DE。求证AP=3AB.【答案】略【提示】根据AD=2DE，标出图中AB,BG,BD,DC,GE;然后根据，标出PG，最后得证14【说明】实际是例4一类题目的基本图形的变形【例14拓展】如图，在△ABC的边BC，CA上各取一点P和Q，若BP：PC=CQ：QA=2：3，设AP，BQ的交点为K。求BK：KQ的值。【答案】【提示】由BP：PC=CQ：QA=2：3标出PB,BP,CG,GQ,BQ;由,标出KQ,BK【随堂练习1】1．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则＝________。【答案】1152．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长．【答案】103．△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2，AC＝6，求DE和CE长【答案】3；4．如图，AM是△ABC中BC边上的中线，过点B作直线交AM于点P，交AC于点Q。求证：AP：PM=2AQ：QC。【答案】略【提示】过M作BQ的平行线5．如图，E为AC的中点，点F在AB上，且AF:AB=2:5，FE与BC的延长线相交于D，求EF：ED的值。【提示】过C作CG∥FE，设FE=k,则CG=2k,FD=6k,EF:ED=1:516【答案】1:5【课堂总结】【说明】本节课讲解的一线三角和后面的基本图形的解题技巧的再次讲解6.如图,在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上,已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=34,由此判断DE与BC的位置关系是.7.如图,AM∶MB=AN∶NC=1∶3，则MN∶BC=.8.如图,△PMN中,点A、B分别在MP和NP的延长线上,83BNBPAMAP则ABMNCBADEMBANCNMBAP9.△ADE中,点B和点C分别在AD、AE上,且AB=2BD，AC=2CE，则BC∶DE=.10.如图,四边形ABCD中,AC、BD相交于O,若BODOCOAO，AO=8，CO=12，BC=15，则AD=.11.如图,AC、BD相交于点O,且AO=2,OC=3，BO=10，OD=15，求证：∠A=∠C.（1题图）（2题图）（3题图）OCBADOBACD17CFDBEA12.已知在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、CA上,且EBCEDBADFCAF,CF=CE，求证：四边形CFDE是菱形.13.（拓展题）如图,已知点D、E在△ABC的边AB、AC上,且DE∥BC,以DE为一边作平行四边形DEFG,延长BG、CF交于点H,连接AH,求证：AH∥EF.【随堂练习2】1.在△ABC中，D、E分别在AB、AC的反向延长线上,DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，EC=14厘米,则AC=.EDACBL1L2L3FCABDEG2.如图，已知AE∥BC，AC、BE交于点D，若32DCAD，则BEDE=.BAFDECHBCGAFED（2题图）(3题图)（4题图）183.如图，L1∥L2∥L3,AB=3，BC=2，CD=1，那么下列式子中不成立的是………()(A)EC∶CG=5∶1(B)EF∶FG=1∶1(C)EF∶FC=3∶2(D)EF∶EG=3∶54.在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，且A