高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

向量1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）2121yyxx(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.2..向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)abxxyyabba()()abcabcACBCAB向量的减法三角形法则1212(,)abxxyy()ababABBA,ABOAOB数乘向量1.a是一个向量,满足:||||||aa2.0时,aa与同向;0时,aa与异向;=0时,0a.(,)axy()()aa()aaa()abab//abab向量的数量积ab是一个数1.00ab或时，0ab.2.00||||cos(,)abababab且时，1212abxxyyabba()()()ababab()abcacbc2222||||=aaaxy即||||||abab3.向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：ababab．⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③00aaa．⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．4.向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy．5.向量数乘运算：⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．6.向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线．7.平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）8.分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,xy，22,xy，当12时，点的坐标是1212,11xxyy．（当时，就为中点公式。）19.平面向量的数量积：⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．baCabCC⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0abab．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa．③abab．⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．⑷坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy．若,axy，则222axy，或22axy．设11,axy，22,bxy，则12120abxxyy．设a、b都是非零向量，11,axy，22,bxy，是a与b的夹角，则121222221122cosxxyyababxyxy．⑤线段的定比分点公式：（0和1）设P1P=PP2（或P2P=1P1P），且21,,PPP的坐标分别是),(),,(,,2211yxyxyx）（，则121211yyyxxx推广1：当1时，得线段21PP的中点公式：121222yyyxxx推广2：MBAM则1PBPAPM（对应终点向量）．三角形重心坐标公式：△ABC的顶点332211,,,,,yxCyxByxA，重心坐标yxG,：12312333xxxxyyyy注意：在△ABC中，若0为重心，则0OCOBOA，这是充要条件．⑥平移公式：若点Pyx,按向量a=kh,平移到P‘'',yx，则kyyhxx''4．（1）正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则RCcBbAa2sinsinsin．（2）余弦定理：CababcBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222（3）正切定理：2tan2tanBABAbaba（4）三角形面积计算公式：设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r．ABPM①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA⑤S△=cPbPaPP[海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．如图：图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr，图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra图1图2图3图4附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点．外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．内心：三角形三内角的平分线相交于一点．垂心：三角形三边上的高相交于一点．旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．（5）已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,即2cba]，则：①AE=as=1/2（b+c-a）②BN=bs=1/2（a+c-b）③FC=cs=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）．特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=cbaabcba2（如图3）．（6）在△ABC中，有下列等式成立CBACBAtantantantantantan．证明：因为,CBA所以CBAtantan，所以CBABAtantantan1tantan，结论！（7）在△ABC中，D是BC上任意一点，则DCBDBCBCABBDACAD222．证明：在△ABCD中，由余弦定理，有BBDABBDABADcos2222①ABCOabcIABCDEFIABCDEFrararabcaabcACBNEFDACB图5在△ABC中，由余弦定理有BCABACBCABB2cos222②，②代入①，化简可得，DCBDBCBCABBDACAD222（斯德瓦定理）①若AD是BC上的中线，2222221acbma；②若AD是∠A的平分线，appbccbta2，其中p为半周长；③若AD是BC上的高，cpbpappaha2，其中p为半周长．（8）△ABC的判定：222bac△ABC为直角△∠A+∠B=22c＜22ba△ABC为钝角△∠A+∠B＜22c＞22ba△ABC为锐角△∠A+∠B＞2附：证明：abcbaC2cos222，得在钝角△ABC中，222222,00coscbacbaC（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．)(22222bababa09-13高考真题09.7.函数2)62cos(xy的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于A.(,2)6B.(,2)6C.(,2)6D.(,2)6【答案】D09.1.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b【答案】B10.8.已知ABC和点M满足0MAMBMC.若存在实m使得AMACmAM成立，则m=BA.2B.3C.4D.511.2．若向量)2,1(a，)1,1(b，则ba2与ba的夹角等于A．4B．6C．4D．43【详细解析】分别求出2ab与ab的坐标，再求出a，b，带入公式求夹角。【考点定位】考查向量的夹角公式cosθ=abab,属于简单题.12.13.已知向量1,0,1,1ab,则(1)与2ab同向的单位向量的坐标表示为___31010(,)1010；(2)向量3ba与向量a夹角的余弦值为____255