高三数学二轮复习精品课件(课标版)专题2 第6讲 解三角形

第6讲解三角形第6讲解三角形主干知识整合第6讲│主干知识整合1．正弦定理已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为三角形外接圆的半径)．2．余弦定理已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc，另外两个同样．第6讲│主干知识整合3．面积公式已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的12；(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R(其中R为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r；(4)若p＝a＋b＋c2，则三角形的面积S＝pp－ap－bp－c.4．航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语要点热点探究第6讲│要点热点探究►探究点一正余弦定理的应用例1(1)[2011·北京卷]在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sinA＝13，则a＝________.(2)[2011·四川卷]在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是()A.0，π6B.π6，πC.0，π3D.π3，π第6讲│要点热点探究(1)523(2)C【解析】(1)由正弦定理有：asinA＝bsinB，即a13＝522，得a＝523.(2)根据正弦定理有a2≤b2＋c2－bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA≤b2＋c2－bc，即有cosA≥12，所以角A的取值范围为0，π3，选择C.【点评】解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理．正弦定理解决的是已知三角形两边和一边的对角、三角两内角和其中一边两类问题，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角、已知三角形三边的两类问题．在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素．本例的第二小题中的不等式看上去是角的正弦的一个不等式，实际上给出的是边的不等式，正弦定理在三角形的边角关系互化中起关键作用．第6讲│要点热点探究在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则角A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°A【解析】根据正弦定理和sinC＝23sinB，可得c＝23b，代入a2－b2＝3bc，得a＝7b，根据余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22×b×23b＝32，所以A＝30°.第6讲│要点热点探究►探究点二函数的图象的分析判断例2[2011·山东卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积S.第6讲│要点热点探究【解答】(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以原等式可化为sinC＝2sinA，因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝14，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×14，解得a＝1，从而c＝2.又因为cosB＝14，且0Bπ.所以sinB＝154.因此S＝12acsinB＝12×1×2×154＝154.第6讲│要点热点探究【点评】本题的难点是变换cosA－2cosCcosB＝2c－ab时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．第6讲│要点热点探究在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且1a＋b＋1a＋c＝3a＋b＋c.(1)求角A的大小；(2)若cb＝12＋3，a＝15，求b的值．第6讲│要点热点探究【解答】(1)由题意a＋b＋ca＋b＋a＋b＋ca＋c＝3，即ca＋b＋ba＋c＝1，整理得：b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc＝12知，A＝π3.(2)由正弦定理cb＝sinCsinB＝sinA＋BsinB＝sinAcosB＋cosAsinBsinB，所以sinAtanB＋cosA＝32tanB＋12＝12＋3，解得tanB＝12，所以sinB＝55，由正弦定理得b＝asinBsinA＝15×5532＝2.第6讲│要点热点探究►探究点三解三角形的实际应用例3如图6－1，渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？图6－1第6讲│要点热点探究【分析】即求线段BC的长度．根据题意，在△BCD中，已知BD，DC，因此只要求出∠BDC的余弦值，即可根据余弦定理求出BC.根据三角形的外角定理，∠BDC＝∠ABD＋60°，只要在△ABD中根据正弦定理求出∠ABD的正弦值，然后根据同角三角函数关系求出其余弦值，再根据和角的余弦公式即可求出∠BDC的余弦值．【解答】设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，BD＝42，∠BAD＝60°，由正弦定理得：ADsinα＝BDsin∠BAD，即sinα＝ADBDsin∠BAD＝3042sin60°＝5314.又∵ADBD，∴0°α60°，cosα＝1－sin2α＝1114，cos∠BDC＝cos(60°＋α)＝－17.在△BDC中，由余弦定理得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcos∠BDC＝402＋422－80×42cos(60°＋α)＝3844.∴BC＝62(km)．答：渔政船乙要航行62千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．第6讲│要点热点探究如图6－2，某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向．图6－2第6讲│要点热点探究【解答】设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC＝123t，BC＝12t，∠ABC＝120°.在△ABC中，123tsin120°＝12tsin∠BAC，所以sin∠BAC＝12，∠BAC＝30°，所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝23，所以最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．第6讲│规律技巧提炼1．使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角．在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角．2．当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角．3．正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系．规律技巧提炼第6讲│教师备用例题教师备用例题备选理由：例1是考查以映射的观点看待函数以及函数的三要素，鉴于这个问题不是高考考查的重点，我们在正文中没有列入这个探究点，可用此题补充这个知识点；例2虽然是2009的高考试题，可这个题目是高考考查抽象和函数性质中较为深入的一个试题，试题具有较大的难度，其解法体现了解决一类抽象函数问题的基本方法；例3，试图通过这个题提供一个解决区域内整点个数的一般方法．第6讲│教师备用例题例1如图，在海岛A上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西45°、俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离．第6讲│教师备用例题【解答】(1)设船速为xkm/h，则BC＝x6km.在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，∴AB＝1tan30°＝3.同理，Rt△PCA中，AC＝1tan60°＝33.在△ACB中，∠CAB＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC＝32＋332－2×3×33cos60°＝213，∴x＝6×213＝221km/h，∴船的航行速度为221km/h.【分析】(1)只要求出BC的长度即可．根据已知的俯角和山峰的高度可以求出AB，AC的长度，根据方位角的变化可以求出∠BAC，在△ABC中使用余弦定理即可；(2)根据立体几何知识，只要过点A作BC的垂线，则垂足与点P的连线的长度就是点P到直线BC的距离，也就是船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离．第6讲│教师备用例题(2)(方法一)作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．此时，AD＝AB·AC·sin60°BC＝3×33×32213＝3147.∴PD＝1＋31472＝25914.∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为25914km.第6讲│教师备用例题(方法二)由(1)知在△ACB中，由正弦定理ACsin∠ABC＝BCsin60°，∴sin∠ABC＝33×32213＝2114.作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小．此时，AD＝ABsin∠ABC＝3×2114＝3147.∴PD＝1＋31472＝25914.∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为25914km.第6讲│教师备用例题例2如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30km到达D，看到A在他的北偏东45°方向，B在他的北偏东75°方向，试求这两座建筑物AB之间的距离．【分析】在△BDC中，使用正弦定理求BC，在△ADC中使用正弦定理求AC，在△ABC中使用余弦定理求AB.第6讲│教师备用例题【解答】依题意得，DC＝30，∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理可得，BC＝DCsin∠BDCsin∠DBC＝30·sin30°sin120°＝10.在△ADC中，由正弦定理可得，AC＝DCsin∠ADCsin∠DAC＝30·sin60°sin45°＝35.在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos45°＝25，∴AB＝5.答：这两座建筑物AB之间的距离为5km.第6讲│教师备用例题