第六章多目标决策分析

第六章多目标决策分析广西大学数学与信息科学学院运筹管理系第六章多目标决策分析在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为决策准则。前面讨论的问题都只有一个决策目标和一个评价准则（如收益最大、效用最大），属单目标、单准则决策。单目标决策的关键：合理选择决策准则。实际问题常常有多个决策目标，每个目标的评价准则往往也不是只有一个，而是多个—多目标、多准则决策问题。§6.1多目标决策的目标准则体系多目标决策问题的目标往往相互联系、相互制约，有的甚至相互矛盾。在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比较，有的目标则难以进行直接评价和比较。如何解决这一问题？通常将难以进行直接评价和比较的目标分解为若干子目标，直至这些子目标能用一个或几个决策准则进行评价和比较。例：某经济特区计划兴建一个大型海港港址的选择需要综合考虑经济、技术、环境以及社会四个方面。决策目标有四个：经济、技术、环境、社会这四个目标均不能直接用一个或几个准则进行评价，要根据决策主体和实际情况的要求，逐级分解为若干子目标。如：经济目标可以分解成直接经济效益和间接经济效益两个一级子目标。直接经济效益又可以继续分解为投资额、投资回收期和利税总额等三个二级子目标…海港港址经济技术环境社会直接效益间接效益投资额投资回收期利税总额海运收益国际贸易收益国内贸易收益航道海滩建筑运行城市关系交通关系资源环保政策军事………………§6.1多目标决策的目标准则体系6.1.1目标准则体系的意义目标准则体系指依据决策主体要求和实际情况需要，对目标经过逐层分解形成的多层次结构的子目标系统。目标准则体系的最低一层子目标可以用单一准则进行评价。多目标决策问题的关键就是合理地选择和构造目标准则体系。6.1.1目标准则体系的意义构造目标准则体系应注意的原则系统性原则各子目标要反映所有因素的整体影响，具有层次性和相关性。可比性原则不同系统的横向比较；同一系统的纵向动态比较。可操作性原则各子目标含义明确，便于数据采集和计算。6.1.2目标准则体系的结构1、单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。图6-2单层次目标准则体系总目标目标m目标m-1目标2目标1……6.1.2目标准则体系的结构2、序列型多层次目标准则体系目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干个低一层次的子目标；各子目标又可以继续分解；这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。特点：各子目标可按序列关系分属各类目标，不同类别的目标准则之间不发生直接联系；每个子目标均由相邻上一层的某个目标分解而成。6.1.2目标准则体系的结构3、非序列型多层次目标准则体系某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类；相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。3、非序列型多层次目标准则体系G............c1c2cn-1cn…g11g12g1n-1g1n…最高层中间层准则层…g21g22g1k-1g1k6.1.3评价准则和效用函数在多目标决策中，制定了目标准则体系后，不同的目标通常用不同的评价准则衡量。问题：如何从总体上给出方案对于目标准则体系中的全部目标的满意度？必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，才能建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。效用函数正是一种统一的数量标度。6.1.3评价准则和效用函数多目标决策中，任何一个方案的效果均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定—个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，可以通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。6.1.4目标准则体系风险因素的处理单目标风险型决策中，各备选方案看成是在整体上处于同一类状态空间的。多目标决策中，风险因素可能只涉及某些目标准则，备选方案不宜在整体上视为处于同一类状态空间。多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。将风险型多目标问题转化为确定型多目标问题。§6.2目标规划方法6.2.1目标规划模型多目标线性规划问题).,2,1(0),,2,1(..),,2,1(min11njxmibxatsKkxcZjinjjijnjjkjk　　　　　　　　　　　　　　问题：能否化为单目标线性规划问题求解？如何处理各目标的主次、轻重？§6.2目标规划方法例6.1某厂生产甲、乙两种产品，每件产品的单位利润、所消耗的原材料及设备工时、材料和设备工时的限额如下表所示。甲乙限额原材料（公斤）设备（工时）23322426利润（元/件）42产品消耗原料例6.1决策者根据市场需求等一系列因素，提出下列目标（依重要程度排列）：①首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量；②尽可能充分利用工时，但又不希望加班；③确保达到计划利润30元。试对厂家生产作出决策分析。设甲、乙产品的产量分别为x1、x2件。012xx262321xx302421xx§6.2目标规划方法目标规划是求解多目标线性规划的方法之一。目标规划的基本方法对每一个目标函数引进一个期望值；引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条件组；引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。§6.2目标规划方法1、目标函数的期望值ek对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk(k=1,2,…,K)，根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值ek。在例6.1中乙产品与甲产品产量之差的目标值可定为0；生产工时的目标值为26（工时）；利润的目标值为30（元）。§6.2目标规划方法2、正负偏差变量对每一个目标函数值，分别引入正、负偏差变量0),,2,1(00kkkkddKkdd　　，正负偏差变量分别表示实际目标值超过和低于期望值的数值。引入偏差变量之后，目标就变成了约束条件，成为约束条件组的一部分。§6.2目标规划方法在例6.1中，令：d1+,d1-分别表示乙产品与甲产品产量之差超过和达不到目标值的偏差变量；d2+,d2-分别表示生产工时超过和达不到目标值的偏差变量；d3+,d3-分别利润超过和达不到目标值的偏差变量；则三个目标可化为含有偏差变量的约束条件302426230332122211112ddxxddxxddxx§6.2目标规划方法3、优先因子（优先等级）和权系数如何区别不同目标的主次轻重？凡要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2，…，并规定Pk＞＞Pk+1（表示Pk比Pk+1有更大的优先权，Pk+1级目标是在保证Pk级目标实现的基础上才能考虑的）（k＝1,2，…，K）为区别具有相同优先因子的两个目标的差别，可分别赋于它们不同的权系数ωj优先等级及权数的赋值由决策者确定。§6.2目标规划方法4、达成函数(准则函数)—目标规划模型的目标函数准则函数由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先因子和权系数构造而成。注：目标规划模型的目标函数是对各目标的偏差的综合（将多目标化为单目标），在目标函数中不包含原决策变量，且一定是极小型的（偏差最小）。4、达成函数(准则函数)当每一目标值确定后，决策者的要求是偏差变量尽可能小，因此其目标函数只能是极小形式，具体有以下三种基本形式：要求恰好达到目标值(正、负偏差都要尽可能小)kkddfZ,minkdfZminkdfZmin要求不超过目标值(正偏差应尽可能小)要求不低于目标值(负偏差应尽可能小)§6.2目标规划方法在例6.1中，首要目标是保证乙产品的产量大于甲产品产量，赋于优先因子P1，目标为d1-尽可能小；次级目标是生产工时恰好达到目标值，赋于优先因子P2，目标为d2-和d2＋都要小；最后的目标是利润不低于30元，赋于优先因子P3，目标为d3-尽可能小；因此，可构造准则函数如下：3322211mindPddPdPZ§6.2目标规划方法例6.1的目标规划模型为：）　（3,2,10,0,2432302426230..min121213321222111123322211iddxxxxddxxddxxddxxtsdPddPdPZi§6.2目标规划方法目标规划的一般模型LlddnjxmibxaLleddxctsddPZlljinjjijlllnjjljKklkllklLlk,,2,10,,,2,10,,2,1,,,2,1..][min1111，　　　　　　　，　　　　　　　　　，　　　　，　　§6.2目标规划方法目标规划的建模步骤（1）假设决策变量；（2）建立约束条件；（3）建立各个目标函数；（4）确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；（5）确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数。§6.3化多为少方法对单层次多目标决策模型）（　　　　　　　　　　　　3.6..)(,),(),()(max21XxtsxfxfxfxFTm其中f1(x),f2(x),…,fm(x)表示m个目标函数，X表示满足某些约束条件的n维点集。处理方法：（1）化为一个单目标问题（2）化为多个单目标问题。例6.5某厂在计划期内生产甲、乙两种产品。产品资源甲乙资源限额原材料A（公斤）原材料B（公斤）设备C（工时）4594310200240300价格（元/件）400600利润（元/件）70120污染32例6.5设产品能全部销售出去问：计划期应如何安排生产，才能使利润和产值都达到最大，而造成的污染最小？解：设计划期分别生产甲、乙产品x1、x2件，则问题的数学模型为：03001032404920054..23)(min01207)(max600400)(max21212121213212211xxxxxxxxtsxxxfxxxfxxxf，　（污染最小）（利润最大）（产值最大）§6.3化多为少方法6.3.1主要目标法主要目标—所有决策目标中，重要程度最高和最为关键的目标。主要目标要求达到最优。其余目标作为非主要目标，满足一定条件即可（满意）。设f1(x)为主要目标，则由：　　　　　　　　Xxmiaxftsxfii,,2)(..)(max1可以得到（6.3）的一个有效解。例6.5决策者确定以利润最大为主要目标并要求：总产值至少应达到20000元，污染量则应控制在90个单位以下。由主要目标法可得到单目标规划问题：　　　　　，　　　　　　　（利润最大）0923200006004003001032404920054..01207)(max212121212121212xxxxxxxxxxxxtsxxxf§6.3化多为少方法6.3.2线性加权和法给目标fi(x)赋以权系数λi（i=1,2,…,m）然后作新的目标函数miiixfxU1)()(构成单目标决策问题：XxtsxfxUmiii　..)()(max1难点：如何使多个目标用同一尺度统一起来（多种方法在下一章中介绍，可以将各目标统一作效用值度量）；如何选择合理的权系数。6.3.2线性加权和法1.α—