2第二章 Logistic 映射和混沌

第二章Logistic映射和混沌(一维离散动力系统和混沌)本章主要内容一、Logistic映射二、Logistic映射的多样形态及转化三、周期3意味混沌四、Henon映射附简单的线性离散系统：储蓄模型r：利息率r1X)x(fXnn1n+=µµ==+00.10.20.30.40.50.60.70.80.910501001500.01r−=00.511.522.533.540501001500.01r=线性离散系统：无复杂现象一、Logistic映射1、数学模型（2.1）其中：状态量系统控制参数)X1(X)x(fXnnn1n−µ==+]1,0[Xn∈]4,0[∈µLogistic映射2、生态背景（May“虫口”模型）R.May[美国]于1963建立，理想化生态模型，考察相对封闭环境中，某种昆虫数目的逐年变化，并对昆虫数目逐年预测。昆虫繁衍方式：每年春末孵化，夏末秋初产卵后（上一代）死亡。下一代在第二年重复同样的过程，如此周而复始繁衍生息。Logistic映射3、系统的最终状态（概况）对给定系统，取控制参数不同的值，给定不同的初始条件，数值计算并作图，可粗略了解系统最终状态的大致情况。数值结果表明，给定不同的参数值，Logistic映射系统演化的最终状态(迭代步数n足够大)呈现出多样性。µ（1）0x,9.0x,5.0n0→==µ图2.1系统演化9.0x,5.00==µnxn02040608010000.20.40.60.8Logistic映射Logistic映射5.0x,9.0x,0.2n0→==µ（2）系统演化9.0x,0.20==µ图2.2nxn0204060801000.20.30.40.50.60.70.80.9Logistic映射图2.3系统演化9.0x,2.30==µ799.0,51.0x,9.0x,2.3n0→==µ（3）0204060801000.30.40.50.60.70.80.9nxn9.0x,54.30==µ（4）nxn图2.4系统演化9.0x,54.30==µ0501001502002503000.40.50.60.70.80.9Logistic映射Logistic映射9.0x,55.30==µ（5）nxn系统演化9.0x,55.30==µ图2.501002003004005000.40.50.60.70.80.9（6）9.0x,566.30==µnxn系统演化9.0x,566.30==µ图2.601002003004005000.40.50.60.70.80.9Logistic映射（7）randomchaos,x,9.0x,0.4n0→==µnxn系统演化9.0x,0.40==µ图2.7010020030040050000.20.40.60.81Logistic映射Logistic映射当时，系统最终状态两个特点：a、给定初值，即使迭代步数n足够大，系统最终的演化状态不确定；b、初始条件敏感：即初始条件有微小的差别，迭代一定次数后，系统状态有很大的差别。（如下图，两初值分别为）。混沌04.=µ0.4001,4000.0x0=4.04.0x0=µ=4.04001.0x0=µ=0102030405000.20.40.60.810102030405000.20.40.60.81Logistic映射图2.8a图2.8bnxnnnx4、迭代的几何表示在，和三种情况下迭代过程的几何图形如下：5.0=µ0.2=µ2.3=µ5.0=µ0.20.40.60.810.10.20.30.40.5nx1nx+n1nxx=+Logistic映射图2.90.2=µ2.3=µ0.20.40.60.810.20.40.60.810.20.40.60.810.20.40.60.81nxnx1nx+1nx+n1nxx=+n1nxx=+Logistic映射*x*Ax*BxooCx图2.10图2.11Logistic映射图2.10中，系统最终趋向状态，而非趋向状态，几何上，曲线在此两点的斜率不同，满足：对状态：对状态：*xO)x1(x)x(fxnnn1n−µ==+1dx)x(df*xx=ρ=*xO1dx)x(df0x=ρ=Logistic映射图2.11中，在状态和，曲线斜率满足：而对周期2解，满足CXO1dx)x(df0X=ρ=1dx)x(dfCXX=ρ=1dx)x(dfdx)x(dfBAXXXX⋅==BAXX和Logistic映射思考题：试比较如下两个系统的区别i、ii、XXn1nµ=+)X1(XXnn1n−µ=+二、Logistic映射的多样形态及转化1、Logistic映射的多样形态A.定常状态（steadystates）：定常状态x满足如下关系：解得：)x1(x)x(fxnnn1n−µ==+)x1(x)x(fx−µ==0x1=∗µ−=∗11x2Logistic映射的多样形态及转化B.周期2解周期-2出现时，初值轨迹构成的序列为：其中，为两个周期2解，并满足即baba210x,x,x,x,,x,x,xbaxx，)x(fx),x(fxbaab==))x(f(fx=Logistic映射的多样形态及转化对Logistic映射，周期2解x满足：整理：])x1(xx)[1x(1))x(f(fx−µ−−µ⋅µ==0]1x1x)][11(x[x22=µ+µ+µ+µ−µ−−Logistic映射的多样形态及转化解方程：可以看出，为定常状态。真正的周期2解为。µ−µ+µ±+µ=µ−==∗∗∗2)3)(1()1(x11x,0xb,a2121x,xbax,xLogistic映射的多样形态及转化C.周期4解周期4出现时，初值轨迹构成的序列为：周期4解x满足：无论如何，上式可以简化为：,x,x,x,x,x,x,x,x,,x,x,xdcbadcba210)x(f))))x(f(f(f(fx4==0g(x))xx)(xx)](11(x[xba=−−µ−−∗∗Logistic映射的多样形态及转化真正的周期4解满足：D.周期解满足：方程的解包括了定常态、周期2、周期4、周期的解。0g(x)=n2)x(f))))x(f(f(f(fxn2==1-n2Logistic映射的多样形态及转化2、各形态的稳定性A、平衡态的稳定性概念（小扰动法）mgNNmgmgNOOOABA点：稳定的平衡态B点：不稳定平衡态Logistic映射的多样形态及转化小扰动法判别稳定性：给系统平衡态附加小扰动，验证初始小扰动的变化：（1）初始小扰动逐渐变大，则此平衡态不稳定；（2）初始小扰动逐渐变小，则此平衡态稳定。Logistic映射的多样形态及转化B、定常状态的稳定性一维离散系统：定常状态满足：给附加初始小扰动，代入方程右端：)x(fxn1n=+∗x)x(fx∗∗=∗x0xδ)xx(fxx01δ+=δ+∗∗Logistic映射的多样形态及转化作泰勒展开，忽略高阶小项，并考虑到，设，则)x(fx∗∗=0xx01xdxdf)x(f)xx(fxxδ⋅+=δ+=δ+∗=∗∗∗∗==ρxxdxdf01xxδ⋅ρ=δLogistic映射的多样形态及转化特征因子：当，初始小扰动将增大，为不稳定平衡态；当，初始小扰动将减小，为稳定平衡态。0nnxxδ⋅ρ=δ1ρ∗x1ρ∗x*xxdx)x(df==ρLogistic映射的多样形态及转化Logistic映射定常状态的稳定性：对，对，µ−=∗11x20x1=∗∗=µ−µ==ρ∗x2dxdfxx0x1=∗µ==ρ=0xdxdfµ−=∗11x2µ−==ρµ−=2dxdf11xLogistic映射的多样形态及转化只有，为稳定的平衡态。所以，两个平衡态及稳定区间分别为：1ρ1)[0,,0x1∈µ=∗3)(1,,11x2∈µµ−=∗Logistic映射的多样形态及转化C、周期2的稳定性周期2满足关系：真正的周期2解满足方程：周期2解为：是映射的定常解。))x(f(fx=µ−µ+µ±+µ=∗2)3)(1()1(xb,a))x(f(fxn1n=+01x1x22=µ+µ+µ+µ−Logistic映射的多样形态及转化对状态由于，代入上式∗ax∗∗∗∗∗∗∗∗===µ++µ−µ=µ−µ⋅µ−µ=⋅=⋅==ρ∗∗∗ba2ba22ababxxxxxxxx4)xx(2)x2()x2()x('f)x('fdx)x(df)x(df))x(f(dfdx))x(f(dfaaa2baba1xx,1xxµ+µ=µ+µ=+∗∗∗∗Logistic映射的多样形态及转化稳定条件：，即解得：（舍去）所以，周期2及其稳定区间为：422+µ+µ−=ρ1ρ1422−µ−µ),61,3(+∈µ)1,61(−−∈µµ−µ+µ±+µ=∗2)3)(1()1(xb,a)61,3(+∈µLogistic映射的多样形态及转化D、周期4、8及状态及其稳定性（略）计算结果表明，系统还有周期4、周期8，直到周期，各周期状态都有相应的稳定区间。当，周期，混沌出现。n2n2569945627.3=µµ∞∞→n2Logistic映射的多样形态及转化3、Logistic映射的分岔图A、什么是分岔？（bifurcation）Logistic映射中，在处，系统的最终状态的性质发生了变化，称为分岔。3.545,,613,,1+=µLogistic映射的多样形态及转化B、什么是分岔图:(bifurcationdiagram)•反映动力系统最终状态和控制参数关系；•概括系统的整体性质。Logistic映射的多样形态及转化C、Logistic映射的分岔图0123400.250.50.7511.251.5ParameterrBifurcationdiagramofLogisticmapxµ三、周期3意味混沌Logistic映射多样形态：定常解、周期2、周期4、、周期，随参数增大，历经了周期倍分岔（period-doubling）过程，直到出现混沌。系统有非周期吗？所有周期有什么关系？4][0,],1,0[x)x1(xxnnn1n∈µ∈−µ=+n2n20501001502000.20.40.60.8827.3,2.0x0=µ=0501001502000.20.40.60.883.3,2.0x0=µ=0501001502000.20.40.60.8845.3,2.0x0=µ=0501001502000.20.40.60.8849.3,2.0x0=µ=01002003004000.20.40.60.889952.3,2.0x0=µ=周期3意味混沌1、Sharkovski定理（1964）映射，设连续，则存在下列自然数列：)x(fxn1n=+12,4,8,16,32,64,,,2,60,52,44,36,28,20,12,30,26,22,18,14,10,6,15,13,11,9,7,5,3,n]1,1[]1,1[:f−→−周期3意味混沌对任意自然数p、q,且pq,且f具有周期p,则：f必有周期q轨道。周期3意味混沌2、Li-Yorke(1973)定理：映射，设连续，且f具有周期3轨道，则：对，f具有周期n轨道。即：“周期3意味着混沌”)x(fxn1n=+]1,1[]1,1[:f−→−Nn∈∀周期3意味混沌3、个例映射]1,32(x]32,31(x]31,0[x91x38917x3xnnnnn1n∈∈∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=+1nx+nxn1nxx=+0xo周期3意味混沌映射满足：说明：系统存在周期3轨道，按照Li-Yorke定理，系统存在混沌轨道。91f(1)1,)31f(,31)91(f===四、Henon映射1、Henon映射参数二维离散非线性动力系统⎩⎨⎧β=α−+=++xyxy1xn1n2nn1n31,0=βαHenon映射2、二维映射的定常解二维映射：定常解满足：⎩⎨⎧==++)y,x(gy)y,x(fxnn1nnn1n)y,x(∗∗⎩⎨⎧==∗∗∗∗∗∗)y,x(gy)y,x(fxHenon映射3、定常解的稳定性：小扰动法：–给定常状态附加初始小扰动–迭代n步，扰动变为：–迭代n+1步，扰动变为：)y,x(00δδ)y,x(