高考文科数学一轮复习_第二章__函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性的定义(1)对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________(或_________________)，则称f(x)为_________.奇函数的图像关于____对称．原点(2)a)的定义域内任意一个x，都有______f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0奇函数f(－x)＝f(x)________(或_____________)，则称f(x)为________．偶函数的图像关于__轴对称．y(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性．具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．2．函数的周期性的定义非零常数f(x＋T)＝f(x)对于函数f(x)，如果存在一个______T，使得定义域内的每一个x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做________，非零常数T叫做这个函数的_____.f(－x)－f(x)＝0偶函数周期函数周期C1．已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(－a)＝－b，则f(a)＝()A.1bB．－1bC．bD．－bx3－x22．下列说法错误的是()B．f(x)＝|x－2|是偶函数C．f(x)＝0，x∈[－6,6]既是奇函数，又是偶函数D．f(x)＝x－1既不是奇函数，又不是偶函数BA．f(x)＝x＋1x是奇函数3．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上是单调减函数，则()A．f(0)＜f(－1)＜f(2)C．f(－1)＜f(2)＜f(0)B．f(－1)＜f(0)＜f(2)D．f(2)＜f(－1)＜f(0)解析：∵f(x－2)在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[－2,0]上单调递减．∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x)在[0,2]上单调递增．又f(－1)＝f(1)，故选A.4．设函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则a＝__.A05．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝_______.解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的函数，故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)，又f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.－0.5考点1判断函数的奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝16x＋1＋2x2x；(3)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；解题思路：依照定义判断函数的奇偶性，要先考查函数的定义域．解析：(1)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，对称于原点．(4)f(x)＝x1－xx0x1＋xx0；(5)f(x)＝1－x2＋x2－1；(6)f(x)＝x2x－1＋x2.∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(2)函数定义域为R.方法一：f(－x)＝16－x＋1＋2－x2－x＝2x116x＋1＋1＝2x·1＋16x4x＋1＝16x＋1＋2x2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．方法二：先化简：f(x)＝16x＋12x＋1＝4x＋4－x＋1，显然f(x)为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多．(3)去掉绝对值符号，根据定义判断．由1－x2≥0|x＋2|－2≠0得－1≤x≤1x≠0且x≠－4.故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2＞0，从而有f(x)＝1－x2x＋2－2＝1－x2x，∴f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．故函数f(x)为奇函数．(5)此函数的定义域为{1，－1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称、又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(6)f(x)＝12x－1＋12x＝2x＋122x－1·x，∴f(－x)＝2－x＋122－x－1·(－x)＝2x＋12x21－2x2x·(－x)＝2x＋122x－1·x＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则x∈D时－x∈D)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)分段函数的奇偶性一般要分段证明；(3)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式．1．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是()A．y＝exB．y＝C．y＝x3D．y＝cosx【互动探究】C考点2利用函数的奇偶性求函数的表达式例2：设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，那么当x∈(－∞，0)时，求f(x)解析式．解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0.由已知f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)，∴f(x)＝x(1－3x)，∴f(x)＝x1＋3x，x∈[0，＋∞x1－3x，x∈－∞，0利用函数的奇偶性可以求关于原点对称区间上的函数的表达式．2．(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则x≤0时，f(x)＝_______；(2)已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.【互动探究】x2＋x－x－x4考点3函数奇偶性与单调性的综合应用例3：已知奇函数f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，若f(m－1)＋f(2m－1)0，求实数m的取值范围．解题思路：欲求m的取值范围，就要建立关于m的不等式，只有从f(m－1)＋f(2m－1)0出发，利用f(x)的奇偶性和单调性将外衣“f”脱去，转化为关于m的不等式．解析：∵f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，∴对任意x∈(－2,2)，有f(－x)＝－f(x)．由条件f(m－1)＋f(2m－1)0得f(m－1)－f(2m－1)＝f(1－2m)．∵f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，∴21－2mm－1－2，解得－12m23.∴实数m的取值范围是－12m23.A．abcC．cbaB．bacD．cab解析：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，b＝f(x)＝lgx.设a＝∴cab.＝lgx，设a＝()【互动探究】3．已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)D错源：没有考虑定义域误解分析：对函数奇偶性定义实质理解不全面．对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．例4：判断函数f(x)＝(1＋x)1－x1＋x的奇偶性．纠错反思：在处理函数的问题时,都要树立定义域优先的意识.正解：f(x)＝(1＋x)1－x1＋x有意义时必须满足1－x1＋x≥0⇒－1x≤1，即函数的定义域是{x|－1x≤1}，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．③①②【互动探究】4.给出四个函数：①y＝lg1－x1＋x；②y＝lg(1－x)－lg(1＋x)；③y＝lg[(x＋1)(x－1)]；④y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)，其中奇函数是_______，偶函数是_____.例5：已知函数f(x)，当x0时，f(x)＝x2－2x－1.(1)若f(x)为R上的奇函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)为R上的偶函数，能确定f(x)的解析式吗？请说明理由．解析：(1)当x0时，f(x)＝x2－2x－1.设x0，则－x0，有f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1.∵f(x)为R上的奇函数，f(－x)＝－f(x)，∴x0时，f(x)＝－x2－2x＋1.当x＝0时，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0.(2)若f(x)为R上的偶函数，不能确定f(x)的解析式，因为不知f(0)的结果．故f(x)＝x2－2x－1x00x＝0－x2－2x＋1x0.【互动探究】5．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数D对于函数f(x)定义域中的任意的x，总存在一个常数T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则T是函数y＝f(x)的一个周期：(1)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期；(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期；1fx(a≠0)，则T＝(3)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝－2a是它的一个周期；1fx(a≠0)，则T＝2a(4)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝是它的一个周期；(5)若函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝1－fx1＋fx(a≠0)，则T＝2a是它的一个周期；(6)若函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于直线x＝a与x＝b对称，则T＝2|b－a|是它的一个周期；(7)若函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(a,0)与x＝b对称，则T＝4|b－a|是它的一个周期．