123角的平分线的性质

12.3角的平分线的性质目标：1、能画已知角的角平分线；2、理解、掌握角平分线的性质.尺规作角的平分线AＢＯＭＮＣ画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．AＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？OＯ想一想：已知：OM=ON，MC=NC．求证：OC平分∠AOB．证明：在△OMC和△ONC中，OM=ON（已知）MC=NC（已知）OC=OC（公共边）∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC（全等三角形的对应角相等）即：OC平分∠AOB练习:P50已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E求证:PD=PEAOBEDPC证明：∵OC平分∠AOB∴∠DOP﹦∠EOP又∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴∠ODP=∠ODP=90°在△PDO和△PEO中﹛∠DOP﹦∠EOP（已证）∠ODP=∠ODP=90°（已证）OP=OP（公共边）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）通过刚才的学习，你能从中得出什么结论？提示：OC是角平分线，点P在OC上，可得出PD=PE角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．练习：P49思考随堂练习如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF≌Rt△EDB.现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质)再用HL证明.试试自己写证明。你一定行！例已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等DEFABCPMN证明：练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ证明：过点P作PH⊥AC于H，作PF⊥CB于F，作PG⊥AD于G。∵CE是角平分线，点P在CE上；∴PH=PF（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理：PF=PG∴PH=PF=PG即点P到ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ三边所在直线的距离相等1：画一个已知角的角平分线；2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上．