【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)空间向量在立体几何中的应用-理-

-1-第七节空间向量在立体几何中的应用【考纲下载】1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝02.两直线的夹角(1)当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，π2]内的角叫作两直线的夹角．(2)当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，其夹角θ∈(0，π2]．(3)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当〈s1，s2〉≤π2时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；当π2＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．3．平面间的夹角如图所示，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，当0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；-2-当π2〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．4．直线与平面的夹角平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．设直线l的方向向量为s，平面π的法向量为n，直线l与平面π的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈s，n〉|＝|s·n||s||n|.5．点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝|AB―→·n||n|.1．在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是0，π2；直线与平面所成角的范围是0，π2；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别．1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．lαD．l与α斜交解析：选B∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.2．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选C∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直．3．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为()A.13，－23，23B.－13，23，－23C．±13，－23，23D.23，13，－23解析：选C设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0，即y＋z＝0.令z＝2，则y＝－2，x＝1.即n＝(1，－2,2)．故其单位法向量n0＝±n|n|＝±13，－23，23.4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面-3-角的余弦值为________．解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0,1,0)，∴1AD＝(0,1，－1)，1AE＝1，0，－12，设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则y－z＝0，1－12z＝0，∴y＝2，z＝2.∴n1＝(1,2,2)，∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝23×1＝23.故所成的锐二面角的余弦值为23.答案：235．正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是______．解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P0，－a2，a2，则CA＝(2a,0,0)，AP＝－a，－a2，a2，CB＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝CBnCBn＝a2a2·2＝12，∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案：30°考点一利用空间向量证明平行、垂直[例1]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．-4-求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[自主解答]以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32.∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)，CM＝32，0，32.(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则0,·0,DPDAnn即－y＋2z＝0，23x＋3y＝0，∴z＝12y，x＝－32y，令y＝2，得n＝(－3，2,1)．∵n·CM＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n⊥CM，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.法二：∵PD＝(0,1，－2)，PA＝(23，4，－2)，令CM＝xPD＋yPA，则32＝23y，0＝x＋4y，32＝－2x－2y，方程组有解为x＝－1，y＝14，∴CM＝－PD＋14PA.由共面向量定理知CM与PD、PA共面，又∵CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(3，2,1)，BE＝(－3，2,1)，∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵BE·DA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，∴BE⊥DA.-5-∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，PA，DA平面PAD，∴BE⊥平面PAD，又∵BE平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.【方法规律】1．用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．2．用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明：(1)以C为坐标原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N，E的坐标分别为22，22，0，(0,0,1)．∴NE＝－22，－22，1.又点A，M的坐标分别是(2，2，0)，22，22，1，∴AM＝－22，－22，1.∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝－22，－22，1，∵D(2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)．∴AM·DF＝0.∴AM⊥DF.同理可证AM⊥BF.又DF∩BF＝F，DF，BF平面BDF，∴AM⊥平面BDF.高频考点考点二利用向量求空间角1．利用向量求空间角是每年的必考内容，题型为解答题，难度适中，属中档题．2．高考对空间角的考查常有以下两个命题角度：-6-(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角．[例2](1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.①证明：AB⊥A1C；②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(2)(2013·四川高考)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．①在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；②设①中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A­A1M­N的余弦值．[自主解答](1)①证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，OC，OA1平面OA1C，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.②由①知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，OA，1OA，OC的方向分别为x，y，z轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．则BC＝(1,0，3)，1BB＝1AA＝(－1，3，0)，1AC＝(0，－3，3)．设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的一个法向量，则10,·0,BCBBnn即x＋3z＝0，－x＋3y＝0.可取n＝(3，1，－1)．故1,ACn＝11ACACnn＝－105.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105.(2)①如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.-7-由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以BC⊥AD，则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.②设A1A＝1.如图，过A1作A1E平行于B1C1，以A1为坐标原点，分别以1AE，11AD，1AA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)．则A1(0,0,0)，A(0,0,1)．因为P为AD的中点，所以M，N分别为AB，AC的中点，故M32，12，1，N－32，12，1，所以1AM＝32，12，1，1AA＝(0,0,1)，NM＝(3，0,0)．设平面AA1M的一个法向量为n1＝