Kronecker积与矩阵方程

Kronecker积与矩阵方程主讲孟纯军博士在系统控制等工程领域，常常要求解线性矩阵方程，Kronecker积是研究矩阵方程的有效工具之一。本章我们首先介绍Kronecker积的性质，然后用Kronecker积求解线性矩阵方程。Kronecker积的定义和性质B的维数。注意A积叫矩阵的张量积，或直onecker积，也称为矩阵A与B的KrCBaBaBaBaBaBaBaBaBaBAC)B＝(b,C)定义：设A＝(anqmpmnm2m12n22211n1211qpijnmij⊗∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗∈∈×××###[][]般不会相等。B维数一样，但是，一A与A可以注意到，BBA422102012AAAB422100212BB0BBA则21B,2101A例题：设⊗⊗⊗≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=−=⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Kronecker积的性质－1－1－1tqijsnijqpijnmijHHHTTT2121212121BAB)(A阵，则设A，B均为非奇异矩(4)(BD)(AC)D)B)(C(A则,)(dD,)(cC,,)(bB,)(aA(5)C)(BACB)(A(4)BAB)(ABAB)(A(3)A＋BAB)＋A(ABBB＋AAB)＋A(A为同阶矩阵，则与AA(2)(kB)AB(kA)B)k(A(1)⊗=⊗⊗=⊗⊗====⊗⊗=⊗⊗⊗=⊗⊗=⊗⊗⊗=⊗⊗⊗=⊗⊗=⊗=⊗××××TTTmnT2nT1nTm2T22T12Tm1T21T11Tmnm2m12n22211n1211TBABaBaBaBaBaBaBaBaBaBaBaBaBaBaBaBaBaBaB)(A:(3)然证明：（1）（2）显⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗######(BD)(AC)(BD)cacacacaBDcaBDcaBDcaBDcaDcDcDcDcDcDcDcDcDcBaBaBaBaBaBaBaBaBaD)B)(C(5)(An1kksmkn1kk1mkn1kks1kn1kk11kn1kksmkn1kk1mkn1kks1kn1kk11knsn2n12s22211s1211mnm2m12n22211n1211⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗∑∑∑∑∑∑∑∑========############为对应的特征值。B的特征向量，λμy是A所以，xy)(λμ)(x(μy)(λx)(By)(Ax)y)B)(x(Aμy得到Byλx,证明：由AxB的特征向量。y是A证明，x阶矩阵B的特征向量A的特征向量，y是n例题：设x是m阶矩阵⊗⊗⊗=⊗=⊗=⊗⊗==⊗⊗＝E，＝E，B其中，ABAcB)f(A,阶方阵，矩阵多项式：设A为m方阵，B为n为复系数二元多项式。yxcy)f(x,定义：二元多项式00l0ji,jiijl0ji,jiij∑∑==⊗==定理5.27设Am×m的特征值为λ1，λ2，…，λm,Bn×n的特征值为μ1，μ2，…，μn，则f(A,B)的全体特征值为f(λi,μj)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)均为上三角矩阵，B其中，ABμ*μBQQAλ*λAPP：B的Schur标准形证明：矩阵A,111n1H1m1H=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=%%)B,f(ABAcQ)B(QP)A(PcQ))(PB(AQ)(PcQ)](P)B(Ac[Q)(PQ)B)(Pf(A,Q)(PQ)B)(Pf(A,Q)(P所以11l0ji,jji1ijl0ji,jHiHijl0ji,jiHijl0ji,jiijHH1=⊗=⊗=⊗⊗⊗=⊗⊗⊗=⊗⊗=⊗⊗∑∑∑∑====−n,1,jm,,1,i)μ,f(λ，其对角元为)的特征值为其对角元B,上三角矩阵f(Aμλ*μλBλ,Bλ*BλBA)是上三角矩阵B,并且，f(A值)具有完全相同的特征B,B)与f(Af(A,从上面可以看出ji11jnikj1ikj1ikj1imj1i1j1i11111%%==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⊗tr(A)tr(B)B)tr(A(4)|B||A||BA|(3)n,1,jm,,1,i,μλB的mn个特征值为EEA(2)n,1,jm,,1,i,μB的mn个特征值为λA(1)则,，μ，为μ设n阶矩阵B的特征值，λ，为λ设m阶矩阵A的特征值:推论mnjimnjin1m1=⊗=⊗==+⊗+⊗==⊗Kronecker积在矩阵方程中的应用A的拉直算子。称vec(A)为矩阵Cαααvec(A)令),α,,(αC)(a设A定义：矩阵拉直算子1mnn21n1nmij××∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==∈=#A)vec(B)(Cvec(ABC)，则CC,CB,C定理：设ATqppnnm⊗=∈∈∈×××⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====pi2i1ip1pi2i1ip1iq21q1q1p1ccc)Ab,,(Abccc)b,,A(bABcABcABcABc)ABc,,vec(ABcvec(ABC)则),c,,(cC),b,,(b证明：记B###A)vec(B)(Cvec(B)AcAcAcAcAcAcAcAcAcvec(ABC)所以A)vec(B)c,A,(cbbA)c,A,(cAbcAbcAbcAbcTpp2p1pp22212p12111pi1ip1pi1ippi11ippi11i⊗=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++=++=####即拉直算子满足线性。)vec(Aα)vec(Aα)AαAvec(α则C,α,C定理：设Akk11kk11inmi++=++∈∈×)vec(X)ABA(B)XBAXBvec(A则,CB,CX,C定理：设AkTk1T1kk11nqiqppmi⊗++⊗=++∈∈∈×××线性矩阵方程程。求矩阵X满足上面的方阵，F为相应维数的给定矩,B,其中，A（5）FXBAXBA考虑如下线性矩阵方程iikk11=++vec(F).bABABA其中，b)r(Ar(A)的充要条件为：定理：方程（5）有解kTk1T1=⊗++⊗==#维数列摆放。注意矩阵X的注意，逆拉直的方法：(d)vecX逆拉直算子，得到来，利用vec(X)后，反过求得向量dc(F))vec(X)＝veABA(B求解拉直方程：求解方程（5)等价于1kTk1T1−==⊗++⊗定理设Am×m的特征值为λ1，λ2，…，λm,Bn×n的特征值为μ1，μ2，…，μn，则Lyapunov方程AX+XB=F方程有惟一解X的充要条件是λi+μj≠0(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n).((0,nnijEEuλ⇔⇔⊗⊗⇔⊗⊗⇔+≠TmTm证明：有唯一解vec(AX+XB)=vec(F)有唯一解A+BE)vec(X)=vec(F)有唯一解A+BE)没有零特征值对所有i,j.AX+XB=FHermiteLyapunovAX+XA=FA×∈mm推论：设AC时矩阵，则方程有唯一解的充要条件为矩阵没有相互反号的特征值（也没有零特征值）例题选讲3413,,1022BF−⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦求解矩阵方程：AX+XB=F,其中1-1A=0232422341(10030101020003012001140003000204002xxxExxx⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊗⊗⎧−⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭1T21x解：（）设X=将原方程进行拉直，A+BE)vec(X)=vec(F)即：x-1[]234121101010124011304022012102X()11Txxxxvecx−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=−⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦1x求解上面的方程，得到所以，例题3405,,0129BF−⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦求解矩阵方程：AX+XB=F,其中1-1A=0232422341(10030000020003002001140105000204019xxxExxx⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊗⊗⎧−⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭1T21x解：（）设X=将原方程进行拉直，A+BE)vec(X)=vec(F)即：x-1234221000010024001504019A12B140,3,1,2xxxE−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⊗⊗−−1T2x注意到的特征值为，，的特征值为－，－从而A+BE的特征值为所以该问题或者无解，或者有无穷解。考虑增广矩阵：[]1000202400150201504019040190020001100011111X(),21Txccvecxc−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥−−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥−⎢⎥−⎣⎦=−⎡⎤==⎢⎥−−⎣⎦-2-100-2-1000-100-10-2-1000-10所以，该方程有无穷解。求解上面的方程，得到-2所以，为任意数。12,,100246,111336BBF⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦−⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦112212求解矩阵方程：AXB+AXB=F,其中2201A=A=2-1-2-132412341(22200014212100213002202036002142636TxxxBxxx⎡⎤⎢⎥⎣⎦⊗⊗⎧−−−⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪−−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭1T221x解：（）设X=将原方程进行拉直，A+BA)vec(X)=vec(F)即：x2[]23412223421023022564244612012X()10Txxxxvecx−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦=−−⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦1x求解上面的方程，得到-1所以，总复习z考试题型：10个填空题共20分，5个计算题共80分。z考试时间为120分钟z考试方式为闭卷。z考试时间大概在15周第一章z子空间的判定及维数z矩阵相似的判定z矩阵Jordan标准型的求法z矩阵能相似与对角阵的判定z初等因子和不变因子第二章z了解矩阵的三角分解z掌握矩阵的满秩分解的算法z掌握矩阵的QR分解，其中用Givens方法和Householder方法是重点z了解矩阵的Schur分解和奇异值分解第三章z了解向量范数和矩阵范数的定义z掌握矩阵和向量范数的1，F，无穷的求法以及向量的二范数的求法。z掌握收敛矩阵判别法，矩阵序列收敛判别法第四章z了解矩阵幂级数的定义z掌握矩阵函数的求法。z掌握一阶线性常系数线性微分方程组的解法第五章z掌握矩阵特征值模长，实部，虚部的估计z会利用圆盘定理隔离矩阵特征值z了解Hermite矩阵特征值的特点z了解广义特征值问题第六章z了解广义逆的定义z掌握加号广义逆和减号广义逆的求法z掌握利用广义逆求解矩阵方程，z掌握利用广义逆判断线性方程组的相容性和矛盾性，z掌握利用广义逆求相容方程组的极小范数解和矛盾方程组的极小范数最小二乘解第七章z掌握正矩阵，非负本原矩阵，非负不可约矩阵的Perron定理z掌握非负本原矩阵，非负不可约矩阵的判定方法z了解非负矩阵的特征值的估计第八章z掌握矩阵Kronecker积的定义和性质z掌握利用拉直算子和矩阵的Kronecker积解线性矩阵方程z掌握二元矩阵多项式的特征值特点