21.1.1二次函数(沪科版)

节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？运动场上飞舞的跳绳篮球运行的路线是什么曲线？怎样出手才能把球投进篮圈？起跳多高才能成功盖帽？1.函数的定义：（在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于x在某一范围内的每一个确定的值，变量y都有一个唯一确定的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是x的函数．）2.大家还记得我们学过哪些函数吗?(正比例函数，一次函数)打开你的记忆问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为问题:y=6x2①问题2：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中为一块矩形的水面投放鱼苗，如图所示，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少？解：设围成的矩形水面的一边长为xm,则另一边长为(20-x)m.若它的面积是Sm2,则有S=x(20-x)即S=-x2+20x0x20问题3：某工厂一种产品今年的年产量是20件,计划明后两年增加产量.如果每年的增长率为x,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？问题:这种产品的原产量是20件,一年后的产量是件,再经过一年后的产量是件,即两年后的产量为20(1+x)20(1+x)2xy1202即③xxy2040202③式表示了两年后的产量y与增长率x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.y是x的函数吗?y是x的一次函数？2、定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。观察与总结y=6x2①③xxy2040202S=-x2+20x②我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数;任何一个二次函数的表达式都可以化y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的形式，所以我们把它叫做二次函数的一般形式称：a为二次项系数，ax2叫做二次项b为一次项系数，bx叫做一次项c为常数项,定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）化简后自变量的最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意：（2）a,b,c为常数，且（4）一般自变量的取值范围是但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义整式a≠0.2任意实数二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx当b＝0，c＝0时，y＝ax2观察与总结函数解析式二次项系数a一次项系数b常数项c2yx2242yxx258112yxx00242－158－11221132yxx12130说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：试一试:二次函数y=ax²+bx+c中a≠0,而b、c可以为0.例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.(1)y=3(x－1)²+1(2)y=x+(3)s=3－2t²(4)y=(x+3)²－x²(5)y=－x(6)v=r²1x__(7)y=x²+x³+25(8)y=2²+2x(是)(否)(是)(否)(否)(是)(否)(否)3问题一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装配玩具190个，但如果每增加一人，那么每人每天可少装配10个，问增加多少人可使每天装配总数最多？最多时是多少个？3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有。Ay=ax2+bx+cBy2=x2-4x+1Cy=x2Dy=2+√x2+14.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()Am,n是常数,且m≠0Bm,n是常数,且n≠0Cm,n是常数,且m≠nDm,n为任何实数CC？（3）它是正比例函数（2）它是一次函数？（1）它是二次函数？c满足什么条件时b,当a,c是常数)，b,c(其中a,bxax函数y20解：（1）a0b0,(2)a0c0,b0,(3)ay=（m+3）x（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？（3）m取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=±时是正比例函数。22（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=±时是反比例函数。6（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。2.如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是______2k-3k+2x0如果函数y=(k-3)+kx+1(x≠0)是一次函数,则k的值一定是______2k-3k+2x3或1或2253或3、圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm²。（1）写出y与x之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm，2cm时，圆的面积增加多少？随堂练习——变换角度分析问题若函数y=x2m+n－2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。①②③④⑤∵2m+n=2m-n=1∴m=1n=0∵∴2m+n=1m-n=2m=1n=-1∵∴2m+n=2m-n=2m=4/3n=-2/3∵∴2m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/3∵∴2m+n=0m-n=2m=2/3n=2/34、如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，∠B=600，梯形的周长为60，设腰AB=x，梯形面积为y.（1）写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。（2）当x=15时，求y的值。ACBDFEx随堂练习5.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？是二次函数关系式.解：S=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.随堂练习1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。（1）问题中有那些变量？（2）假设果园增种x棵橙子树，果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。随堂作业：相信你一定行回味无穷小结拓展1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？问题:由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作条对角线.n(n-3)因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数MN321nnd即n②nd23212②式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.