空间向量的标准正交分解与坐标表示

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用来表示.{,,}ijkikj有序实数组(,,)xyz一一对应pxiyjzk,,ijk为基底空间向量p下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点，分别以的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz.x轴、y轴、z轴，都叫做叫做坐标轴,点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.{,,}ijk,,ijk,,ijk123(,,)AaaaxyzOkij空间直角坐标系在空间直角坐标系O–xyz中，对空间任一点A,对应一个向量,于是存在唯一的有序实数组x,y,z,使(如图).OAOAxiyjzkxyzOA(x,y,z)ijk我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.空间直角坐标系PACOBDzxyijk.,,,,,,,aOPazyxkji作是空间任意向量设轴正方向上的单位向量轴轴为直角坐标系中令在给定的坐标系中aDPADOAOP有根据向量的加法运算,PACOBDzxyijkDPADOAOP有根据向量的加法运算,OCOBOAkzOCjyOBixOA,,根据向量共线定理kzjyixOP所以,,,,,,,ijkxyza在给定的空间直角坐标系中令分别为轴轴轴正方向上的单位向量对于空间任意向量(,,),xyzaxiyjzk存在唯一一组三元有序实数使得。.,,,叫做标准正交基把的标准正交分解叫做我们把kjiakzjyixa.),,().,,(.),,(的坐标表示叫做向量记作的坐标叫做空间向量azyxazyxaazyx).,,(),,,(,zyxOPzyxP的坐标也是向量的坐标为点在空间直角坐标系中.)2(;,,,)1(.5,3,2,,.11111111的坐标求的分解式关于给出的坐标写出体在直角坐标系中有长方如图例ADkjiACCAABCABDCBAABCDC1DA1OBCzxy(A)D1B1C1DA1OBCzxy(A)D1B1解:(1)因为AB=2,BC=3,AA1=5所以C1为(3,2,5)kjiAC523)5,2,3(1从而(2)因为点D1为(3,0,5))5,0,3(1AD所以.)2(;,,,)1(.5,3,2,,.111111111的坐标求的分解式关于给出的坐标写出体在直角坐标系中有长方如图练习BDkjiABBAABCABDCBAABCDC1DA1OBCzxy(A)D1B1(1)B1为(0,2,5)kjAB521(2)(3,-2,5)ikzijyiixikzjyixiakzjyixa)(,那么设00,,1||2ikjijiiii同理而由于zkayjaxia,同理所以,,,,.aixajyakzaxyz我们把分别称为向量在轴轴轴正方向上的投影.,cos||,,00上的投影在向量为向量称的单位向量为若一般地babaababb.标轴正方向上的投影向量的坐标等于它在坐AD1C1B1A1DCB例2.如图,已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,求;)1(1上的投影在向量CBCA1||cos||;)1(:111CBCBACACBCA上的投影在向量解AD1C1B1A1DCB例2.如图,已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,求.,,)2(111上的投影在求向量且垂直于平面是单位向量BCCAAABBBC1||)cos(||)2(:111CBCBACABCCA上的投影为在向量解AD1C1B1A1DCB练习2.如图,已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1,求1CACA向量在上的投影。111:||cos||2CACACAACBCA解向量在上的投影：。向量a在向量b上的投影小结空间向量的坐标表示1211212212eeaaeeee如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使＝＋。（、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）空间向量基本定理：如果向量e1,e2,e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数1,2,3,使得a=1e1+2e2+3e3。空间不共面的三个向量e1,e2,e3叫作这个空间的一个基底.(1)此三个向量不共面；(2)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一(3)由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是零向量(4)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量对于基底e1,e2,e3ABCDA'B'C'D'abcMN1,,,,,,,,,.ABCDABCDABaADbAAcMACNBCabcMN例如图在平行六面体中是的中点是的中点用表示