函数的极值与导数.ppt

3.3.2函数的极值与导数跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10其图象如右.thothoa0)(ah0)(th单调递增0)(th单调递减yoxdbfcaehg对于d点函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附近其他点的函数值都小，=0。)(df在点x=d附近的左侧0在点x=d附近的右侧0)(xf)(xf我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y=f(x)的极小值。yoxdbfcaehg在点x=e附近的左侧0在点x=e附近的右侧0)(xf)(xf对于e点函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附近其他点的函数值都大，=0。)(ef我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。yoxdbfcaehg极小值点、极大值点统称为极值点极小值、极大值统称为极值极大值一定大于极小值吗？例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值。解：=3x2-12=3(x-2)(x+2))(xf令=0)(xf得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当0即x2,或x-2时;)(xf(2)当0即-2x2时;)(xfx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；)(xf)(xf因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4xyo1212)(3xxxf-22图象如右练习1、求函数f(x)=6+12x-x3=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x))(xfxyo-223126)(xxxfx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)-0+0-f(x)↘-10↗22↘)(xf一般地,求函数的极值的方法是:解方程=0.当=0时.①如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.)(xf)(xf0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf即“峰顶”即“谷底”例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值：(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间。解：(1)=3ax2+2bx-2)(xf0)1(f,0)2(f因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，所以xxxxf22131)(23所以2131ba解得=3ax2+2bx-2)(xf022302412baba即f(x)=ax3+bx2-2x(2)=x2+x-2)(xf由0,得x-2或x1,所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2)∪(1,+∞))(xf)(xf由0,得-2x1,所以f(x)的单调减区间为(-2,1)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？3)(xxf例如0)0(,3)(2fxxf从而可知但x=0不是函数的极值点xyo3xy导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.一般地,求函数的极值的方法是:解方程=0.当=0时.①如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.)(xf)(xf0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf即“峰顶”即“谷底”