2增分微课1平均在高中物理中的应用

增分微课1:“平均”方法在高中物理中的应用湖北省恩施高中陈恩谱●题型综述高中物理中有许多涉及到“平均”的概念，例如平均速度、平均功率、平均电流、平均电动势、分子平均动能、平均结合能（比结合能）等等。那么，“平均”在这些问题中有什么意义？高中物理中涉及到了哪些类型的平均值？在使用各种平均值概念时，需要注意一些什么？本文将就这一系列问题展开探讨。●应考策略首先需要明白“平均”方法的意义，其次要明白各种具体情况属于哪种“平均”，其三要熟悉各种常见的“平均”，以及相应的结论、技巧和注意事项。下面先简单介绍一下“平均”的意义。1、给出物理量取值的大致范围，以便总体把握物理量的情况比如平均身高、平均分数、平均寿命、平均冲力、分子平均动能、平均结合能以及实验误差中的标准差等，就属于这种情形。2、将一个状态量不均匀变化的过程，等效简化成一个状态量均匀变化的过程比如平均速度、平均加速度、平均作用力、平均功率、平均电场强度、平均电流、平均电动势、交变电流有效值等。3、有效的减小实验误差比如多次测量取平均值（图像法是其变种），就是有效的减小实验的偶然误差的方法；某些实验中采用复称法（用到了几何平均值），是为消除实验系统误差。●应用举例1、算术平均值（1）自由电子定向移动平均速率、分子平均速率、分子平均动能、平均结合能等【例】分子平均速率——将所有分子速率相加后，除以分子的总数：12...iNvvvvvNN（2）多次测量取平均值减小实验的偶然误差测量次数越多，偶然因素导致的测量值相对真实值偏大偏小的概率越接近相等，绝对误差ε（测量值－真实值）中正值、负值出现的情况接近相同，则将所有的测量值相加求算术平均值，即可将偶然误差接近消除，例如长度测量：12010201200...()()...()...NNNlllllllllNNN其中l0为待测量的真实值。[拓展]很多实验采用图像法，其要点是测量数据要多，作图时要求用平滑的曲线将尽可能多的点连起来，不能落在曲线上的点均匀的分布在曲线两侧，其实就是多次测量取算术平均值的思路。2、平方平均值（幂平均值）（1）分子方均根速率——将所有分子速率平方后相加，除以分子总数，然后再开方：2222212...iNvvvvvNN；分子方均根速率涉及分子平均动能的计算，与分子平均速率一般不相等，注意不要混淆。（2）实验误差中的标准差——绝对误差的方均根：22iN，实验数据的误差范围通常表示为：0ll。3、几何平均值【例1】不等臂天平测质量左盘放物体，右盘加砝码，称量值为m1；然后将物体放右盘，左盘放砝码称量值为m2，设天平左臂长为l左，右臂长为l右，物体质量为m，则：第一次天平平衡时：1=mglmgl右左第二次天平平衡时：2=mglmgl右左两式相乘并整理得到：12mmm此式与天平臂长无关，消除了由于ll右左引起的系统误差。【例2】电桥法测电阻若定值电阻R1、R2的具体阻值不准确，我们可以先按如图接好电路，调节电阻箱R0的阻值为R01时，电桥达到平衡，有：1012xRRRR然后将电阻箱与待测电阻Rx对调，再调节电阻箱为R02时，电桥再次达到平衡，则有：2021xRRRR两式联立，有：0102xRRR，此式与R1、R2的阻值无关，从而消除了R1、R2的阻值不准确引起的系统误差。4、调和平均值【例3】N个定值电阻并联后的总电阻R满足：121111...NRRRR，即HRRN，其中RH为这N个电阻的调和平均值：H12111...NNRRRR。5、加权平均值（1）三大类型①比值定义的物理量：平均速度、平均加速度、平均作用力、平均功率、平均电场强度、平均电流、平均电动势、平均密度、平均压强等【例4】平均速度——速度对时间的加权平均值：一个过程由N个阶段组成，各阶段的速度和时间分别为vi、Δti，则全过程的平均速度为1122121212ΔΔ...ΔΔΔΔ=...ΔΔ...ΔNNNNNxvtvtvttttvvvvttttttt总总总总总[拓展]若Δt取值相同，则加权平均值可退化为算术平均值：=ΔtNt总，则121212...ΔΔΔ111=......NNNxvvvtttvvvvvvvttttNNNN总总总总总【例5】平均电场强度——电场强度对距离的加权平均值：如图所示，点电荷的电场中一根电场线上有A、B、C三个点，且有AB=BC，试比较UAB与UBC的大小关系。[解析]这个问题可以采用平均电场强度的方式来解决，若将AB段等分为N段，每一小段上电场强度可视为不变，设为E1、E2、……EN，则这段长度d=AB上的平均电场强度为：1212ΔΔ...Δ...=NNABABEdEdEdEEEUEddN同理：12...=BCNBCUEEEEdN由于所有的Ei都大于iE，因此易知ABBCEE，则ABBCEdEd，即ABBCUU。②交变电流有效值：“电流平方对时间的加权平均值”的平方根【解释】交变电流的有效值设为I，则有221ΔNiiiQIRtIRt，即2ΔiiItIt。[拓展]若所有Δit取值相同，则加权平均值可退化为平方平均值：22ΔiiItIItN。③均匀重力场中物体的重心（质心）坐标——坐标对质量的加权平均值【解释】N个质点组成的质点组，其中mi对应的坐标为（xi，yi，zi），则这组质点的重心的位置坐标（xC，yC，zC）定义是：iiCimgxxmg，iiCimgyymg，iiCimgzzmg。[拓展]由这个定义易知，该质点组的重心的高度为iiCimghhmg，则该质点组的重力势能为iiCmghMgh，即可以用质点组总重力Mg乘以重心高度hC来计算。同理，该质点组质心的速度为iiCimvvm，即CiiMvmv，也就是说，该质点组的总动量，可以用总质量M与质点组的质心速度vC乘积来计算。（2）注意事项①看清楚是对什么物理量取加权平均值，算出来的加权平均值只能乘以该物理量，以得到对应的乘积物理量。【例6】作用力对时间的平均值、对位移的平均值的区别——弹簧模型如图所示，一水平弹簧左端固定在竖直墙面上，右端固定在一个滑块P上，滑块与地面接触面光滑。现将滑块P向右拉离弹簧原长位置后由静止释放，则在物块向左回到弹簧原长位置过程中，弹簧弹力随位移和时间变化的图像如图所示，易知弹力对位移的平均值为Δ0122ixFxkxFkxx弹力对时间的平均值为Δ0122itFtkxFkxt即txFF不仅如此，xF还只能与位移相乘计算这个过程中弹簧弹力的功，而不能与时间相乘计算冲量；而tF只能与时间相乘来计算这个过程中弹力的冲量，也不能与位移相乘计算功。【例7】交变电流平均值和有效值的区别平均电流的定义为：ΔΔiiiItqItt，有效值的定义为：22ΔΔΔΔiiiiiiIRtItQIRtRtt，显然两者存在着本质区别，平均值只能用来计算电量，不能用于计算电功、电功率，而有效值只能用于计算电功、电功率，不能用来计算电量。只有恒定电流电路中，电流的平均值和有效值才相等。②看清楚是在哪个区间内取加权平均值【例8】交变电流在不同时间区间有效值不同如图所示，正弦交变电流在0~4T内的有效值为/42m01m2π(sin)d2/42TIttTIIT，但是0~8T内的有效值为/82m02m2π(sin)d221/8π2TIttTIIT，而8T~4T内的有效值为/42m/83m2π(sin)d221/8π2TTIttTIIT。很明显，不同的时间区间内，交变电流的有效值是不同的。（3）几个推论①若y随x均匀变化，则y对x的加权平均值，可以用平均区间的初、末y值的算术平均值计算【例9】匀变速运动做匀变速直线运动的物体，若将全过程分成等时间间隔的N段，则各个时间间隔内的速度vi为一等差数列，有1121()...22NNNNvvvvvvvvNN，N→∞时，v1=v0，vN=vt，则有02tvvv，即初末速度的算术平均值。【例10】导体棒旋转切割磁感线如图所示，导体棒旋转切割磁感线的情况，将导体棒AB分成等长的N份，第i份对应的速度为vi，由(Δ)iiAvrril可知，vi为一等差数列，而感应电动势为11ΔΔ()22NiiNvvlNEBlvBlvBvvBlNN→∞时，v1=vA，vN=vB，则有2ABvvEBl；若A点就是转轴O，则vA=0，有21222BvlEBlBlBl。【例11】质量分布均匀的物体的重心在物体的几何中心比如一根质量分布均匀的细棒ab，将其分成等长的N份，有Δixil，可知xi为一等差数列，则有：11ΔΔ1()Δ22iNCiNmgxxxmNxxxxmgMNN→∞时，x1=xa，xN=xb，则有2abCxxx，即细棒重心位于细棒中点。②若g与y是一一对应关系，则g对x的加权平均值，与y对x的加权平均值也对应这类情况的例子有：平均速度与平均功率、平均电动势与平均电流、平均电流与平均安培力【例12】平均电动势与平均电流()eet，()eetiRrRr，而()ΔΔettEt，则()Δ()Δ()Δ1ΔΔΔettittettERrIttRrtRr因此，在电磁感应现象中，计算感应电量qIt时，可以用EIRr算平均电流，其中ΔΔENt。B说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版。