湖南大学-系统辨识-期末考试-复习提纲-答案

1系统辨识复习提纲1．什么是系统？什么是系统辨识？答：系统泛指由一群有关联的个体组成，根据预先编排好的规则工作，能完成个别元件不能单独完成的工作的群体。即一群有相互关联的个体组成的集合称为系统。系统辩识就是：利用对未知系统的试验数据或在线运行数据（输入/输出数据）以及原理和原则建立系统的（数学）模型的科学。2．什么是宽平稳随机过程，其遍历定理内容是什么？答：在数学中，平稳随机过程或者严平稳随机过程，又称狭义平稳过程，是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程：即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。如果平稳随机过程txde各集和平均值等于相对应的时间平均值x=x，txtx=Rx,式中x伪随机过程tx的时间平均值；x为与以为概率密度有关的数字特征量集合均值；Rx为自相关函数。则称tx是各态遍历的平稳随机过程。3．简述噪声模型及其分类。P130噪声模型：)()()(111zCzDzH分类：1)自回归模型，简称AR模型，其模型结构为)()()(1kvkezC2)平均滑动模型，简称MA模型，其模型结构为)()()(1kvzDke3)自回归平均滑动模型，简称ARMA模型，其模型结构为))()()()(11kvzDkezC4．白噪声与有色噪声的区别是什么？答：辨识所用的数据通常含有噪声。如果这种噪声相关性较弱或者强度很小，则可近似将其视为白噪声。白噪声过程是一种最简单的随机过程。严格地说，它是一种均值为零、谱密度为非零常2数的平稳随机过程，或者说它是由一系列不相关的随机变量组成的一种理想化随机过程。白噪声过程没有“记忆性”，也就是说t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也不影响t时刻以后的将来值。工程实际中数据所含的噪声往往是有色噪声。所谓有色噪声指的是噪声序列中每一时刻的噪声和另一时刻的噪声是相关的。5．设一个随机序列)},,2,1(),({Lkkz的均值是参数的线性函数{()}()zkkEh其最小二乘估计为：LLLLLzHHH1WLS)(ˆ试给出其递推形式的详细推导过程，要求其最终其递推矩阵为保对称的。P64在2n阶“持续激励”输入信号的作用下，加权最小二乘法的解为LLLLLzHHH1WLS)(ˆLiLiiziiiii111)()()()()()(hhh记k时刻的参数估计值为kikiiziiiiik111)()()()()()()(ˆhhh令kiihihikR1)()()()(，并利用Rh()()()()()kkiiziik1111，则有)()()()1()()]1(ˆ)()()[()()()1(ˆ)(ˆT1kkkkkkkkzkkkkkhhRRhhR又设RR()()kkk1，可导出如下的加权最小二乘估计递推算法，记作WRLS(WeightedRecursiveLeastSquaresalgorithm)，3)]1()()()([1)1()()]1(ˆ)()()[()()(1)1(ˆ)(ˆ1kkkkkkkkkkzkkkkkkRhhRRhhR置11111)()()()1()()()()(1)(kkkkiiikkkkihhPhhRP，并利用矩阵反演公式111111)()(ACCACBCAACBCA，令增益矩阵为：)()()()(kkkkhPK那么算法将演变成下面所示的另一种递推算法形式)1()]()([)()(1)()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1kkkkkkkkkkkkkkzkkkPhKPhPhhPKhKI6．简述在最小二乘估计问题中引入加权因子的作用。P587．假如给出在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据测量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在t时的电阻值。（1）利用头两个数据给出00010(0)()()ˆ(0)(0)0TLLTLLLPPHHθPHz（2）写出最小二乘的递推公式；（3）计算ˆ()[(),()]Tkakbkθ并要求在计算过程中给出矩阵(),()kkPK的值。老师给过示例7题：表1中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据测量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在C70时的电阻值。表1热敏电阻的测量值t)(C20.52632.740516173808895.7R)(765790826850873910942980101010324要求用递推最小二乘求解：（a）设观测模型为利用头两个数据给出0LTLLTLLzHPθHHPP000)0()0(ˆ)()()0(10（b）写出最小二乘的递推公式；（c）利用Matlab计算Tkakbk)](),([)(ˆθ并画出相应的图形。解：首先写成abtabhhabtkkzkk1)()(12hLLHzTLLzz],...,[1z，1......1121LLtttH，ab的形式。利用头两个数据给出最小二乘的初值：,126120.50LH7907650Lz这样可以算得0LTLLTLLzHPθHHPP000)0()0(ˆ)()()0(10求得671.81824.5455)0()0(ˆ36.23971.5372-1.5372-0.0661)()0(000LTLLzHPθPP注意对于手工计算，可以直接用2阶矩阵求逆公式acbdbcaddcba11有了初值，可以写出递推公式：T1032]1010980942910873850826[Lziivbtay51.000095.70001.000088.00001.000080.00001.000073.00001.000061.00001.000051.00001.000040.00001.000032.7000LH1)(ktkh这样可以根据公式进行计算。)(1)()1()()()()1()()(1)()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1kkkkkkkkkkkkkkkkkkzkkkhPhKKPPhPhhPKhK算得：P(1)=0.0134-0.3536-0.35369.6685P(2)=0.0047-0.1397-0.13974.4118P(3)=0.0017-0.0594-0.05942.2224P(4)=0.0008-0.0327-0.03271.4264P(5)=0.0005-0.0198-0.01981.0025P(6)=0.0003-0.0143-0.01430.8103P(7)=0.0002-0.0110-0.01100.6863P(8)=0.0002-0.0088-0.00880.59866Tk702.7620702.9683705.3110708.4127702.9463698.6728675.2295661.31313.43443.42923.36683.27783.44433.58784.44705.0134)(ˆθ8．简述系统辨识中的模型、逆模型及广义模型的概念，Bayes辨识和Kalman滤波分别采用什么模型？●模型的含义模型－把关于实际过程的本质的部分信息简缩成有用的描述形式。它是用来描述过程的运动规律，是过程的一种客观写照或缩影，是分析、预报、控制过程行为的有力工具。模型是实体的一种简化描述。模型保持实体的一部分特征，而将其它特征忽略或者变化。不同的简化方法得到不同的模型。Bayes---最小二乘模型Kalman---线性代数和隐马尔可夫模型9．在线辨识和离线辨识的差别是什么？如果系统的模型结构已经选好，阶数也已确定，在获得全部数据之后，用最小二乘法、极大似然法或其它估计方法，对数据进行集中处理后，得到模型参数的估计值，这种方法称为离线辨识。离线辨识的优点是参数估计值的精度较高，缺点是需要存储大量数据，运算量也大,难以适用于实时控制。在线辨识时，系统的模型结构和阶数是事先确定好的。当获得一部分新的输入输出数据后，在线采用估计方法进行处理，从而得到模型的新的估计值。在线辨识的优点是所要求的计算机存储量较小，辨识计算时运算量较小，适合于实时控制，缺点是参数估计的精度较差。为了实现自适应控制，必须采用在线辨识，要求在很短的时间内把参数辨识出来。10．已知确定性问题的梯度校正参数辨识方法的参数估计递推公式为ˆˆˆ(1)()()()[()()()]kkkkykkkhhθθRθ并且权矩阵)(kR选取如下形式。12()()[(),(),,()]NkckdiagkkkR如果权矩阵满足以下条件。（1）0(),(12)LiHkiN，，，；（2）N个()ik中存在一个()mk，使得)()1()()()1()(kkkkkkiiimmm7（3）2120()()()Niiickkhk；（4）)(ˆ)(~0kkθθθ与)(kh不正交。证明不管参数估计值的初始值如何选择，参数估计值总是全局一致渐近收敛的，即有0)(ˆlimθθkkP92定理的证明：①建立关于参数估计偏差)(~kθ的离散时间运动方程。由于：)](ˆ)[()()()(ˆ)](ˆ)()()[()()(ˆ)](ˆ)()()[()()(ˆ)1(ˆ00kkkkkkkkkkkkkkykkkkθθRθθθRθθRθθhhhhhhh令：)(ˆ)(~0kkθθθ，由：)](ˆ)[()()()(ˆ)1(ˆ000kkkkkkθθRθ-θθ-θhh我们有：)(~)()()()(~)1(~kkkkkkθRθθhh即)(~)]()()([)1(~kkkkkθRIθhh（**）②建立方程（**）的Lyapunov能量函数。定义Lyapunov能量函数如下：NiiimkkkkkV12)()(~)(]),(~[θ其中m满足定理中的条件2，)(ˆ)(~kkiii。由Lyapunov稳定性定理，只要]),(~[kkVθ满足以下条件，则离散时间运动方程（**）具有全局一致渐近稳定的零点。（a）0]),(~[kkVθ，对于所有的0θ)(~k；（b）0]),(~[kkVθ，对于所有的0θ)(~k；8（c）当)(~kθ时，有]),(~[kkVθ；（d）0]),(~[]1),1(~[ˆ],~[kkVkkVkVθθθ，对所有的0θ)(~k。由定理给定的条件可知（a）、（b）和（c）一定满足。③条件（d）满足的证明记：)(]),(~[)1(]1),1(~[],~[kkkVkkkVkVmmmθθθ则由Lyapunov能量函数的定义，有：NiiiiiiNiiiiiiNiiiiNiiiiiiiiiiiNiiiiiiiNiiiiiNiiiNiiiNiiimmNiiimmmkkkkkQkkkk